Nulreglen

Dette afsnit kan springes over, hvis man skal afslutte matematik på c-niveau.

Vi har lært at løse første og andengradsligninger, men hvad med ligninger af højere grad? Vi skal se på en lille nyttig regel som i visse tilfælde kan gøre os i stand til at løse ligninger af højere grad og andre mere avancerede ligninger.

Nulreglen

📌

Hvis $$a\cdot b=0$$, så er $$a=0$$ eller $$b=0$$ (eller begge to lig med 0).

Tænker man lidt over det er nulreglen ikke så mærkelig. Det er klart, at hvis man ganger to tal sammen og det giver nul så må mindst et af tallene være nul.

Eksempel 1

📌

Vi vil bestemme løsninger til ligningen $$(x-2)(x+3)=0$$. Vi kan se at vi har to ting ganget sammen (de to parenteser) og derfor kan vi bruge nulreglen. Altså er $$$x-2=0\quad\textrm{eller}\quad x+3=0$$$ Dette må betyde at ligningen har løsningerne $$$x=2\vee x=-3.$$$ Vi husker at $$\lor$$ betyder "eller". Hvis man er et ordensmenneske kan man stille løsningerne op i rækkefølge:$$$x=-3\vee x=2.$$$

Øvelse 1

📌

Løs ligningenerne

  1. $$(x+4)(x+2)=0$$

    $$x=-2\lor x=-4$$

  2. $$(x-2)x=0$$

    $$x=0\lor x=2$$

Nogle gange skal man arbejde lidt før man kan bruge nulreglen:

Eksempel 2

📌

Vi vil nu bruge nulreglen til at løse ligningen $$x^3-4x=0.$$ Vi starter med at sætte $$x$$ ud foran en parantes: $$$x(x^2-4)=0.$$$ Dette kaldes også at faktorisere. Prøv at gange parentesen ud - kan du se det giver den oprindelige ligning?

Nu er ligningen på formen $$a\cdot b=0$$, hvor $$a=x$$ og $$b=x^2-4$$ og dermed kan vi bruge nulreglen.

Ifølge nulreglen er enten $$$x=0$$$ eller $$$x^2-4=0.$$$ Denne ligning har løsningerne (du kan tjekke efter ved at finde diskriminant osv.) $$$x_1=2\quad\textrm{ og } \quad x_2=-2.$$$Vi samler nu løsningerne og får $$$x_1=-2, \quad x_2=0\quad \textrm{og} \quad x_3=2.$$$

Øvelse 2

📌

Løs følgende ligninger:

  1. $$x^3-x^2-2x=0$$

    $$x=-1 \lor x=0\lor x=2$$

  2. $$x^4+3x^3=0$$

    $$x=-3 \lor x=0$$

  3. $$x^2\cdot\sqrt{x-1}=0$$

    $$x=0 \lor x=1$$

Eksempel 3

📌

Vi vil løse ligningen $$x^3=x^2$$. Vi starter med at omforme den, så vi får nul på den ene side af lighedstegnet: $$$x^3-x^2=0.$$$ Så faktoriserer vi $$$x^2(x-1).$$$ Nulreglen giver os så at $$x^2=0$$ eller $$x-1=0$$, dvs. vi får løsningerne $$x_1=0$$ og $$x_2=1$$.

Øvelse 3

📌

Løs ligningerne

  1. $$x^3-4x=3x^2$$

    $$x=-1\lor x=0\lor x=4$$

  2. $$(x+2)\sqrt{x+3}=0$$

    $$x=-3\lor x=-2$$

  3. $$2x^3-12x^2=-2x^4$$

    $$x=-3\lor x=0\lor x=2$$