Introduktion
Vi starter med at definere hvad et polynomium er:Definition 1
Et polynomium er en funktion som har en form som en af funktionerne i skemaet:
| $$f(x)=0$$ | Kaldes nulpolynomiet |
| $$f(x)=a$$ | Kaldes et nultegradspolynomium |
| $$f(x)=ax+b$$ | Kaldes et førstegradspolynomium |
| $$f(x)=ax^2+bx+c$$ | Kaldes et andengradspolynomium |
| $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ | Kaldes et tredjegradspolynomium |
| $$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ | Kaldes et fjerdegradspolynomium |
| ... | ... |
Tallene $$a,b,c\ldots$$ kaldes polynomiets koefficienter. Koefficienten $$a$$ må ikke være nul. Skemaet kan fortsættes uendeligt således at der findes polynomier af alle grader.
Eksempel 1
| Forskrift | Grad og koefficienter |
|---|---|
| $$f(x)=2$$ | Nultegrad med $$a=2$$ |
| $$f(x)=-27{,}5$$ | Nultegrad med $$a=-27{,}5$$ |
| $$f(x)=2x+1$$ | Førstegrad med $$a=2$$ og $$b=1$$ |
| $$f(x)=7x$$ | Førstegrad med $$a=7$$ og $$b=0$$ |
| $$f(x)=-x$$ | Førstegrad med $$a=-1$$ og $$b=0$$ |
| $$f(x)=x-1$$ | Førstegrad med $$a=1$$ og $$b=-1$$ |
| $$f(x)=2x^2+3x-2$$ | Andengrad med $$a=2$$, $$b=3$$ og $$c=-2$$ |
| $$f(x)=-4x^2+12x$$ | Andengrad med $$a=-4$$, $$b=12$$ og $$c=0$$ |
| $$f(x)=2x^2-2$$ | Andengrad med $$a=2$$, $$b=0$$ og $$c=-2$$ |
| $$f(x)=-x^2$$ | Andengrad med $$a=-1$$, $$b=0$$ og $$c=0$$ |
Øvelse 1
Hvilke af disse funktioner er polynomier?
-
$$f(x)=3x^2+2x+1$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=\sqrt{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=2x+1$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=4x^3+3x^2-2x+4$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=x^2$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=-5$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=5x^5-2x^4-3x^3+2x^2-4x+1$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=-x^3$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=x^{250}$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=x^2+2\sqrt{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=x^{3{,}5}-2x$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=\frac{2}{3} x^2-\frac{1}{4}$$
Er et polynomium
-
$$f(x)=π$$
Er et polynomium
Øvelse 2
Bestem koefficienterne a og b for følgende førstegradspolynomier.
-
$$f(x)=2x+1$$
$$a=2$$ og $$b=1$$
-
$$f(x)=x+1$$
$$a=1$$og $$b=1$$
-
$$f(x)=-2x+2$$
$$a=-2$$og $$b=2$$
-
$$f(x)=-x$$
$$a=-1$$og $$b=0$$
Øvelse 3
Bestem koefficienterne a,b og c for følgende andengradspolynomier:
-
$$f(x)=3x^2+2x+1$$
$$a=3$$, $$b=2$$, $$c=1$$
-
$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$a=1$$, $$b=-2$$, $$c=3$$
-
$$f(x)=-2x^2+1$$
$$a=-2$$, $$b=0$$, $$c=1$$
-
$$f(x)=x^2$$
$$a=1$$, $$b=0$$, $$c=0$$
-
$$f(x)=39x^2-x$$
$$a=39$$, $$b=-1$$, $$c=0$$
-
$$f(x)=-x^2+1{,}3$$
$$a=-1$$, $$b=0$$, $$c=1{,}3$$
Øvelse 4
Vi vender tilbage til polynomierne i øvelse 1. Bestem graden og koefficienterne polynomierne.
-
$$f(x)=3x^2+2x+1$$
Graden er 2 og $$a=3$$, $$b=2$$ og $$c=1$$
-
$$f(x)=\sqrt{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=2x+1$$
Graden er 1 og $$a=2$$, $$b=1$$.
-
$$f(x)=4x^3+3x^2-2x+4$$
Graden er 3 og $$a=4$$, $$b=3$$, $$c=-2$$ og d=4.
-
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=x^2$$
Graden er 2 og $$a=1$$, $$b=0$$ og $$c=0$$.
-
$$f(x)=-5$$
Graden er 0 og $$a=-5$$
-
$$f(x)=5x^5-2x^4-3x^3+2x^2-4x+1$$
Graden er 5 og $$a=5$$, $$b=-2$$, $$c=-3$$, $$d=2$$, $$e=-4$$ og $$f=1$$.
-
$$f(x)=-x^3$$
Graden er 3, $$a=-1$$ og resten af koefficienterne er nul.
-
$$f(x)=x^{250}$$
Graden er 250, $$a=1$$ og resten af koefficienterne er nul.
-
$$f(x)=x^2+2\sqrt{x}$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=x^{3{,}5}-2x$$
Er et ikke et polynomium
-
$$f(x)=\frac{2}{3} x^2-\frac{1}{4}$$
Graden er 2, $$a=\frac{2}{3}$$, $$b=0$$ og $$c=-\frac{1}{4}$$
-
$$f(x)=π$$
Graden er nul og $$a=\pi$$
Øvelse 5
Lineære funktioner er også en slags polynomier.
Hvilken slags? Tænk dig godt om, det er nemlig et lidt tricky spørgsmål.
En lineære funktion er enten et nultegradspolynomium, et førstegradspolynomium eller også kan det være.... tadaaaa: nulpolynomiet.
Øvelse 6
Bestem $$f(0)$$ og $$f(-2)$$ for følgende polynomier:
-
$$f(x)=3x-1$$
$$f(0)=-1$$ og $$f(-2)=-7$$
-
$$f(x)=2{,}7$$
$$f(0)=2{,}7$$ og $$f(-2)=2{,}7$$
-
$$f(x)=3x^2-5x+1$$
$$f(0)=1$$ og $$f(-2)=23$$
Øvelse 7 (svær)
Polynomier af forskellige grader har forskellige grafer.
Tegn en masse polynomier i Geogebra og find en sammenhæng mellem polynomiernes grad og grafernes forløb.
Vi kan se, at polynomier af højere grad kan have flere steder grafen vender. Vi kan også se, at når graden er ulige er værdimængden $$\mathbb{R}$$ (alle tal).
Øvelse 8 (svær)
Alternativt til definition 1 kan man definere polynomier mere elegant på følgende måde:
Definition 2
Et polynomium $$n$$'tegradspolynomium er en funktion på formen: $$$f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$$ hvor $$a_n\neq 0$$.
Forklar definition 2 (bemærk at nultpolynomiet skal defineres for sig).
Vi kan snakke om det i klassen?