Fortegn

Vi husker at en fortegnsundersøgelse går ud på at beskrive hvornår grafen for en funktion ligger over eller under $$x$$-aksen.

Fortegnsvariationen (resultatet af fortegnsundersøgelsen) kan bestemmes ved aflæsning eller ved beregning.

For at kunne beregne fortegnsvariationen er man først nødt til at bestemme nulpunkterne. Det sætter en begrænsning for hvilke typer af funktioner vi er i stand til at beregne fortegsvariation for.

Eftersom vi netop har lært at bestemme nulpunkter for et andengradspolynomium er vi nu i stand til at bestemme fortegnsvariationen for et andengradspolynomium ved beregning også. Vi starter dog ud i den lidt blødere ende med at repetere, hvordan man gør ved aflæsning.

Eksempel 1

📌

Vi vil nu lave en fortegnsundersøgelse af funktionen $$f(x)=2x^3-2x^2$$.

Vi tegner funktionen ind i Geogebra og finder ud af, at den ser sådan ud:

Graf

Jeg har markeret nulpunkterne med rødt. Vi kan nu aflæse fortegnsvariationen for $$f(x)$$.

$$f(x)<0$$ for $$x\in ]-\infty,0[\cup]0,1[$$
$$f(x)>0$$ for $$x\in ]1,\infty[$$
$$f(x)=0$$ for $$x=0$$ eller $$x=1$$.

Øvelse 1

📌

Bestem ved grafisk aflæsning fortegnsvariationen for følgende funktioner.

  1. $$f(x)=x^2-3x+2$$

    $$f(x)>0$$ for $$x\in]-\infty,1[\cup]2,\infty[$$
    $$f(x)<0$$ for $$x\in ]1,2[$$
    $$f(x)=0$$ for $$x=1$$ eller $$x=2$$

  2. $$f(x)=x^3+x^2-2x$$

    $$f(x)<0$$ for $$x\in ]-\infty,-2[\cup]0,1[$$
    $$f(x)>0$$ for $$x\in]-2,0[\cup]1,\infty[$$
    $$f(x)=0$$ for $$x=-2$$, $$x=0$$ eller $$x=1$$

  3. $$f(x)=3x+3$$

    $$f(x)<0$$ for $$x\in]-\infty,-1[$$
    $$f(x)>0$$ for $$x\in ]-1,\infty[$$
    $$f(x)= 0$$ i $$x=-1$$

  4. $$f(x)=-1$$

    $$f(x)$$ er negativ.

  5. $$f(x)=x^4+0{,}5x^3-x^2-0{,}5x$$

    $$f(x)>0$$ for $$x\in ]-\infty,-1[\cup ]-0{,}5;0[\cup]1;\infty[$$
    $$f(x)<0$$ for $$x\in]-1;-0{,}5[\cup ]0;1[$$
    $$f(x)=0$$ når $$x=-1$$, $$x=-0{,}5$$, $$x=0$$ eller $$x=1$$

Nåh nu er der ingen vej udenom længere... Vi vil bestemme fortegnsvariationen for et andengradspolynomium ved beregning ugghh:

Eksempel 2

📌

Vi vil nu lave en fortegnsundersøgelse af funktionen $$f(x)=x^2-4$$. Denne gang vil vi prøve at beregne fortegnsvariationen uden at tegne grafen.

Vi starter med at finde nulpunkterne. Først finder vi diskrimanten: $$$d=b^2-4ac=0^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16.$$$ Ifølge nulpunktsformlen er der to nulpunkter og de bestemmes ved $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-0+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-0-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2.$$$ Altå $$f$$ har nulpunkterne $$x_1=-2$$ og $$x_2=2$$.

Vi undersøger nu, hvordan funktionen ser ud på hver side af nulpunkterne. Vi skal altså finde nogle x-værdier som ligger på hver side af tallene -2 og 2. Vi vælger x-værdierne -3, 0 og 3 og laver et sildeben:

$$x$$ -3 -2 0 2 3
$$f(x)$$ 5 0 -4 0 5

Vi er ligeglade med præcis, hvilke funktionsværdier vi har - kun i deres fortegn:

$$x$$ -3 -2 0 2 3
$$f(x)$$ + 0 - 0 +

Altså kan vi konkludere at:

$$f(x)>0$$ for $$x\in ]-\infty,-2[\cup ]2,\infty[$$
$$f(x)<0$$ for $$x\in]-2,2[$$
$$f(x)=0$$ for $$x=\pm 2$$

Øvelse 2

📌
Denne øvelse går ud på at tjekke nogle af dine aflæsninger i øvelse 1 vha. beregning. Argumenter for hvilke af funktionerne du er i stand til at undersøge vha. beregning og gennemfør beregningen for disse.

Du kan tjekke:

$$f(x)=x^2-3x+2$$
$$f(x)=3x+3$$
$$f(x)=-1$$

Det er svært at tjekke:

$$f(x)=x^3+x^2-2x$$
$$f(x)=x^4+0{,}5x^3-x^2-0{,}5$$

da det er tredje og fjerdegradspolynomiumier og vi ikke har lært metoder til at finde nulpunkter for disse.