Beviser

Til beviset får vi brug for en kvadratsætning:

At finde nulpunkter betyder at løse ligningen $$f(x)=0$$. Dvs. i vores tilfælde $$$ax^2+bx+c=0.$$$

Vi ganger ligningen med $$4a$$ på begge sider og får: $$$4aax^2+4abx+4ac=0.$$$

Da $$4aax^2=(2ax)^2$$ (tjek det) og $$4abx=2b(2ax)$$ (tjek det) kan vi omksrive ligningen til: $$$(2ax)^2+2b(2ax)+4ac=0.$$$

Vi sætter nu $$F=2ax$$ og får så: $$$F^2+2bF+4ac=0.$$$

Vi trækker nu $$4ac$$ fra på begge sider og lægger $$b^2$$ til på begge sider så vi får

$$$F^2+2bF+b^2=b^2-4ac.$$$

Jammen hov, der har vi jo diskriminanten der på højre side!!

$$$F^2+2bF+b^2=d$$$

Venstresiden kan vha. kvadratsætningen omskrives til $$(F+b)^2$$, så vi får:

$$$(F+b)^2=d.$$$

Hvis $$d<0$$ har ligningen ingen løsninger (hvorfor?) og vi har vist første del af sætningen. Hvis $$d\geq 0$$ så er : $$$F+b=\pm \sqrt{d}\quad\textrm{hvorfor?}$$$

Vi trækker $$b$$ fra på begge sider: $$$F=-b\pm \sqrt{d}.$$$

Hmm hvad var det nu $$F$$ var? Nåh ja det var jo $$2ax$$. Det kan vi sætte ind i stedet for $$F$$: $$$2ax=-b\pm\sqrt{d}.$$$

Til slut dividerer vi med $$2a$$ på begge sider af lighedstegnet: $$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a},$$$ og vi er næsten færdige.