Andengradsligninger
Vi har tidligere lært at løse førstegradsligninger. Den gang kaldte vi dem godt nok bare for "ligninger" men det var faktisk førstegradsligninger idet, de kun indeholdte $$x$$ og ikke $$x^2$$, $$x^3$$ osv. Vi løste dem ved at samle x'erne på den ene side og y'erne på den anden.
En ligning som indeholder $$x^2$$ og ikke $$x$$ i nogen højere potens ($$x^3$$, $$x^4$$...) kaldes en andengradsligning.
Eksempel 1
Lad os se om vi kan bruge den samme metode vi brugte på førstegradsligninger til andengradsligninger.
Vi prøver med ligningen $$x^2+4=-4x$$.
Vi trækker $$4$$ fra på begge sider og får $$$x^2=-4x-4$$$ Vi lægger $$4x$$ til på begge sider og får $$$x^2+4x=-4.$$$ Men hvad nu!!!!! Nu har vi både noget med $$x^2$$ og $$x$$, som vi ikke kan samle - hvad skal vi dog gøre? ååh åhhh
Eksempel 1 viser at den metode vi brugte på førstegradsligninger ikke er tilstrækkelig til at løse andengradspolynomier, så vi må finde en ny strategi.
Eksempel 2
Lad os igen betragte andengradslingen $$x^2+4=-4x$$.
Denne gang er strategien at samle det hele på den ene side.
Vi lægger $$4x$$ til på begge sider og får $$$x^2+4x+4=0.$$$ En løsning til denne ligning er det samme som et nulpunkt for funktionen $$f(x)=x^2+4x+4$$, så vi kan altså finde løsningerne vha. nulpunktsformlerne. Vi finder først diskriminanten: $$$d=b^2-4ac=4^2-4⋅1\cdot 4=16-16=0.$$$ Da $$d=0$$ er et nulpunkt og det bestemmes ved$$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2⋅1}=\frac{-4}{2}=-2.$$$ Vi konkluderer at løsningen til ligningen $$x^2+4=-4x$$ er $$$x=-2.$$$
Altså er strategien for at løse en andengradsligning følgende:
- Omskriv ligningen så den har formen $$ax^2+bx+c=0$$
- Find nulpunkterne for funktionen $$f(x)=ax^2+bx+c$$. Nulpunkterne for $$f(x)$$ er løsning(erne) til ligningen.
Øvelse 1
Løs følgende ligninger
-
$$2x^2=-2x+4$$
$$x_1=1$$ og $$x_2=-2$$
-
$$x+5=-x^2$$
Ingen løsninger.
-
$$x^2-8x=-16$$
$$x=4$$.
Har man f.eks to løsninger $$x_1=2$$ og $$x_2=5$$ til en ligning kan man også skrive den samlede løsning som $$$x=2\lor x=4.$$$ Tegnet $$\lor$$ betyder "eller". Det kan virke fjollet at skrive "eller" når de jo begge to er løsninger, men man skiver "eller" fordi $$x$$ ikke kan være to værdier på en gang.
Øvelse 2
-
Opskriv løsningen til den første ligning i øvelse 1 ved at bruge tegnet "$$\lor$$" som forklaret lige oven over denne øvelsen.
$$x=1\lor x=-2$$