Stykkevis lineære funktioner

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$f$$

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$g$$

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$h$$

Forskriften for grafen i eksempel 1 ser således ud.

$$$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x-1, & \text{for } x<2 \\ 2x-6, & \text{for } x\geq 2 \end{cases} $$$

Det betyder at det er udtrykket $$\frac{1}{2}x-1$$ som bestemmer funktionsværdierne når $$x<2$$, og udtrykket $$2x-6$$ der bestemmer funktionsværdierne når $$x\geq 2$$.

Vil vi nu regne f.eks. $$f(1)$$ skal vi bruge udtrykket $$\frac{1}{2}x-1$$ da $$1<2$$. Så $$$f(1)=-\frac{1}{2}\cdot 1-1=-1{,}5$$$

Vi vil nu bestemme forskriften for grafen i eksempel 3.

Vi starter med den grønne del. Vi kan se at den går igennem punkterne $$(-4;-1)$$ og $$(-2;2)$$. Derfor har den hældningen $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-1)}{-2-(-4)}=\frac{3}{2}=1{,}5$$$ Vi beregner $$b$$: $$$b=y_1-ax_1=-1-1{,}5\cdot (-4)=5$$$ Så den grønne del er bestemt ved udtrykket $$1{,}5x+5$$. Da den stopper i $$x=-2$$, får vi at første del af gaffelforskriften ser således ud: $$$1{,}5x+5, \quad \textrm{for } x<-2$$$

På tilsvarende måde finder vi udtrykkene for den grønne og den blå og får forskriften

$$$ h(x) = \begin{cases} 1{,}5x+5, & \text{for } x<-2 \\ -x, & \text{for } -2\leq x\leq 1 \\ 2, & \text{for } 1<x<2 \\ \end{cases} $$$

Indkomstskatten i Danmark kan i forenklet form beskrives ved følgende funktion $$$ f(x) = \begin{cases} 0{,}08x, & \text{for } 0\leq x\leq 48913 \\ 0{,}4267x-16956, & \text{for } 48913\leq x\leq 521304 \\ 0{,}5643x-88704, & \text{for } x\geq 521304 \\ \end{cases} $$$

Her er $$x$$ lønnnen og $$f(x)$$ er skattebeløbet.