Grafen for en lineær funktion
Ligesom ved alle andre funktioner kan man tegne lineære funktioner ved at lave et sildeben. Der findes dog en hurtigere metode. Det er nemlig sådan at:
- Tallet $$b$$ angiver skæringspunktet med y-aksen.
- Tallet $$a$$ er det tal man skal gå op, hver gang man går 1 ud af $$x$$-aksen. Hvis $$a$$ er et negativt tal, skal man gå ned i stedet for op.
Eksempel 1
Lad os prøve at tegne funktionen $$f(x)=2x-3$$. Vi kan se at $$b=-3$$, så funktionen skærer y-aksen i $$-3$$:
Fordi $$a=2$$ ved vi, at hver gang vi går $$1$$ ud af x-aksen, skal vi gå $$2$$ op:
Vi kan nu tegne grafen for $$f(x)$$ gennem punkterne:
Øvelse 1
Tegn med papir og blyant en skitse af nedenstående funktioner vha. metoden beskrevet ovenover:
-
$$f(x)=0{,}5x+2$$
-
$$f(x)=x+1$$
-
$$f(x)=-2x+1$$
-
$$f(x)=5$$
-
$$f(x)=0$$
Markeret med rød:
Øvelse 2
Bestem forskriften for følgende funktioner:
-
Funktionen $$f$$:
$$f(x)=0{,}5x-1$$
-
Funktionen $$g$$:
$$g(x)=-x+1$$
-
Funktionen $$h$$:
$$h(x)=-1$$
-
Funktionen $$i$$:
$$i(x)=x$$
Grafen gennem to punkter
Det er klart at hvis man har to punkter, så findes der netop én linje igennem punkterne. Vi kan bestemme en forskrift for den lineære funktion ved at benytte følgende sætning:
Sætning 1
Lad $$f(x)=ax+b$$ være en lineær funktion og antag at $$f$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$. Da kan konstanterne $$a$$ og $$b$$ bestemmes ved formlerne: $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad\textrm{ og }\quad b=y_1-ax_1.$$$
Eksempel 2
Vi vil bestemme forskriften for linjen gennem punkterne $$(1,2)$$ og $$(4,8)$$.
Sammelinger vi med sætning 1 får vi at $$x_1=1$$, $$y_1=2$$, $$x_2=4$$ og $$y_2=8$$.
Vi regner først $$a$$: $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{4-1}=2,$$$ og vi kan så regne $$b$$: $$$b=y_1-ax_1=2-2\cdot 1=0.$$$
Vi sætter de fundne værdier ind $$y=ax+b=2x+0=2x$$. Altså er forskriften $$y=2x$$.
Øvelse 3
Bestem vha. sætning 1 forskriften for den lineære funktion $$f$$ gennem punkterne $$(2,3)$$ og $$(4,11)$$.
$$f(x)=4x-5$$.
Øvelse 4
Bestem vha. sætning 1 forskriften for den lineære funktion $$f$$ gennem punkterne $$(5,-3)$$ og $$(12,-10)$$.
$$f(x)=-x+2$$.
Øvelse 5
Prisen på en vare kan beskrives ved en lineær funktion $$p(x)=ax+b$$, hvor $$x$$ er afsætningen i stk. Ved en pris på 800 kr afsættes 1500 stk og ved en pris på 1000 kr. afsættes 1100 stk.
| $$x$$ | 1500 | 1100 |
| $$p(x)$$ | 800 | 1000 |
-
Bestem en forskrift for $$p$$
$$p(x)=-\frac{1}{2}x+1550$$
-
Bestem prisen ved en afsætning på 500 stk.
1300 kr
-
Bestem afsætningen ved en pris på 300 kr.
2500 stk.
Øvelse 6
Ligger punktet $$(1270,-2537)$$ på grafen for funktionen $$f(x)=-2x+4$$? Kan du finde ud af den uden at bruge Geogebra?
Næh nej, det ligger ikke på grafen.