Nulpunkter
Nulpunkterne er de steder hvor en funktion er nul. Helt præcist:
Definition 1
Et nulpunkt for en funktion $$f$$ er en $$x$$-værdi som opfylder at $$f(x)=0$$.
Eksempel 1
Vi vil undersøge om $$x=3$$ er nulpunkt for funktionen $$f(x)=2x-6$$ så vi udregner $$f(3)$$: $$$f(3) =2\cdot 3-6=0$$$ Da $$f(3)=0$$ er $$x=3$$ nulpunkt for $$f$$.
Værdien $$x=4$$ er derimod ikke et nulpunkt for funktionen $$f(x)=2x-6$$ da $$$f(4) =2\cdot 4-6=2 \quad \textrm{Altså ikke nul!}$$$
Øvelse 1
-
Er $$x=2$$ nulpunkt for $$f(x)=x^2-4$$?
Ja!
-
Er $$x=3$$ nulpunkt for $$f(x)=\sqrt{x}-3$$?
Nope!
Man kan finde nulpunkter både ved beregning og ved aflæsning. Det er nemmest at aflæse dem, så det starter vi med.
Nulpunkter ved grafisk aflæsning
Grafisk er nulpunktet det sted hvor funktionen skærer $$x$$-aksen (se øvelse 3):
Altså er nulpunktet for ovenstående funktion $$x=-2$$.
Øvelse 2
Her er en flot graf:
Aflæs nulpunktet
$$x=2$$
Eksempel 2
Man godt have flere nulpunkter:
Vi kan se at funktionen har nulpunkt i $$x=-1$$ og i $$x=1$$. Nogle gange vil man gerne kunne kende forskel på nulpunkterne, og derfor siger vi at funktionen har nulpunkter i $$x_1=-1$$ (læses "x et lig med minus en") og $$x_2=1$$.
Øvelse 3
Her er endnu en flot graf:
Aflæs nulpunkterne
$$x_1=-3$$, $$x_2=0$$ og $$x_3=2$$
Øvelse 4 (svær)
Ifølge definitionen er et nulpunkt en $$x$$-værdi for hvilke $$f(x)=0$$.
Forklar hvorfor det er det samme som en $$x$$-værdi, hvor funktionen skærer $$x$$-aksen.
Vi snakker om det i klassen.
Øvelse 5
Ikke alle funktioner har nulpunkter. F.eks. har funktionen $$f(x)=4$$ ikke har noget nulpunkt.
-
Bestem $$f(3)$$ og $$f(-5)$$ for funktionen $$f(x)=4$$.
$$f(3)=4$$ og $$f(-5)=4$$
-
Forklar hvorfor funktionen $$f(x)=4$$ ikke har noget nulpunkt.
Da funktionsværdierne er $$4$$ uanset hvad $$x$$ er, kan funktionen aldrig give nul. Eller sagt på en anden måde, ligningen $$4=0$$ har ingen løsninger.
Nulpunkter ved beregning
Man beregner nulpunkterne ved at sætte $$f(x)=0$$ og løse ligningen.
Eksempel 3
Vi ønsker at beregne nulpunkter for funktionen $$f(x)=2x-2$$. Vi leder altså efter $$x$$'er, som opfylder at $$f(x)=0$$.
Vi stiller det op som en ligning: \begin{align}f(x)&=0\\2x-2&=0\quad (\textrm{ da }f(x)=2x-2)\\2x&=2\\x &=1\end{align}
Altså har vi fundet ud af at $$f(x)$$ har et nulpunkt og det er $$x=1$$.
Øvelse 6
Bestem ved beregning nulpunkterne for følgende funktioner:
-
$$f(x)=4x+2$$
$$x=-0{,}5$$
-
$$f(x)=-x$$
$$x=0$$
-
$$f(x)=2(x+1)$$
$$x=-1$$
-
$$f(x)=\sqrt{x-1}$$ (svær)
$$x=1$$
-
$$f(x)=\frac{x+1}{x}$$ (svær)
$$x=-1$$