Monotoniforhold
Monotoniforhold er en beskrivelse af hvor en funktion er voksende og hvor den er aftagende.
Eksempel 1
Vi ser på to grafer:
Funktionen til venstre er voksende og funktionen til højre er aftagende. Matematik er svært.
Øvelse 1
Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.
Bestem monotoniforholden for $$f$$.
Funktionen $$f$$ er voksende.
Eksempel 2
Her er grafen for en funktion $$f$$:
Det ses af når vi kommer fra venstre, starter funktionen med at være aftagende og bliver så voksende når vi kommer hen på den anden side af nul:
Monotoniforholdene er derfor:
$$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;0]$$ og $$f$$ er voksende for $$x\in[0;\infty[$$.
Man kan undre sig over hvorfor $$0$$ er med i begge intervaller. Sådan er det altid når man laver monotoniforhold - den $$x$$-værdi hvor funktionen skifter fra aftagende til voksende (eller omvendt) tilhører begge intervaller. Der følger en forklaring til sidst i dette afsnit.
Øvelse 2
Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.
Bestem monotoniforholden for $$f$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [-1;0{,}5]$$ og $$f$$ er aftagende for $$x\in[0{,}5;\infty[$$.
Øvelse 3
Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.
Bestem monotoniforholden for $$f$$.
$$f$$ er aftagende for $$x\in ]-\infty;-2]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [-2;1]$$.
$$f$$ er aftagende for $$x\in[1;3]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [3;4[$$.
Formel definition af monotoniforhold (svært og kan springes over)
Indtil videre har vi brugt en intuitiv definition af monotoniforhold: En funktion er voksende hvis den går op ad! Den intuitive definition er dog ikke tilstrækkelig til at forklare hvorfor den $$x$$-værdi hvor funktionen vender skal tilhøre begge mononiintervaller. Dette bliver imidlertid klart med følgende mere præcise definition:
Definition 1
En funktion siges at være voksende i et interval $$I$$ hvis der får alle $$x_1\in I$$ og $$x_2\in I$$ gælder at $$f(x_2)\geq f(x_1)$$ når $$x_2>x_1$$.
En funktion siges at være aftagende i et interval $$I$$ hvis der for alle $$x_1\in I$$ og $$x_2\in I$$ gælder at $$f(x_2)\leq f(x_1)$$ når $$x_2>x_1$$.
Vi bemærker at hvis funktionen er konstant (dvs. grafen er vandret), så er funktionen ifølge definitionen både voksende og aftagende på en gang. Lidt skørt og i nogle lærebøger gør man det også anderledes og kalder monotoniforholdet "konstant".
Øvelse 4 (meget svær)
Benyt definition 1 til at redegøre for hvorfor den $$x$$-værdi hvor funktionen vender skal tilhøre begge mononiintervaller.
Spørg mig!
Øvelse 5 (meget svær)
Vi kigger igen på grafen fra øvelse 3.
Man kunne have lyst til at opskrive monotoniintervallerne på følgende måde:
$$f$$ er aftagende for $$x\in ]-\infty;-2]\cup [1;3]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [-2;1]\cup [3;4[$$.
Men det ville være forkert!!!!!!
Hvorfor?
Spørg mig