Grafisk løsning af ligninger og uligheder
Grafisk løsning af ligninger
Vi kan løse ligninger og uligheder ved at tegne i stedet for at beregne.
Eksempel 1
Vi vil løse ligningen $$x+2=4x-2$$. Det er ikke så svært at gøre ved beregning, men nu vil vi se hvordan det kan gøres grafisk.
Vi tegner højre og venstre side af ligningen ind i Geogebra:
Løsningen til ligningen finder vi ved at finde det punkt hvor funktionerne skærer hinanden. Vi vælger "skæringsværktøjet":
og derefter trykker vi på skæringspunktet:
Vi ser oppe til venstre at skæringspunktet er $$(1{,}33;3{,}33)$$. Førstekoordinaten til skæringspunktet er løsningen til ligningen, så ligningen har løsningen $$x=1{,}33$$.
Øvelse 1
Løs ligningen $$2x-7=5(x+1)$$ på tilsvarende måde som i eksempel 1.
$$x=-4$$
En ligning kan godt have flere løsninger eller slet ingen løsninger.
Øvelse 2
Ved at tegne i Geogebra skal du løse ligningen $$x^2+1=x-2$$.
$$L=\emptyset$$. Dvs. der er ingen løsninger
Øvelse 3
Ved at tegne i Geogebra skal du løse ligningen $$-x^2+1=2^x$$.
Ligningen har to løsninger $$x_1=-0{,}57$$ og $$x_2=0$$.
Øvelse 4
Nedenunder ses graferne for to funktioner $$f$$ (grøn) og $$g$$ (rød).
Løs ligningen $$f(x)=g(x)$$.
$$x=1$$
Grafisk løsning af uligheder
Vi kan også løse uligheder grafisk.
Eksempel 2
Vi løser uligheden $$2x+1<-x+2$$.
Vi tegner begge sider at uligheden ind i Geogebra:
Da $$2x+1$$ skal være mindre end $$-x+2$$ må løsningen være givet ved det område hvor den sorte graf ligger under den røde. Vi finder skæringspunktet:
og løsningen må så være $$x<0{,}33$$ fordi den sorte graf ligger under den røde når $$x<0{,}33$$.
Øvelse 5
Ved at tegne i Geogebra skal du løse uligheden $$-x+7 < x-4$$.
$$x>5{,}5$$
Øvelse 6 (svær)
Ved at tegne i Geogebra skal du løse uligheden $$x^2+x\geq 2x$$.
$$L=]-\infty;0]\cup[1;\infty[$$
Øvelse 7
Når vi løser en ligning grafisk tegner vi graferne for de to funktioner givet ved venstre og højresiden af ligningen.
Hvorfor er løsningerne til ligningen givet ved førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem de to grafer?
Vi snakker om det i klassen.