Nominel og effektiv rente

Den årlige nominelle rente

I afsnittet om kapitalfremskrivning har vi regnet på situationer, hvor vi kendte rentefoden (renten pr. termin) eller skulle finde rentefoden. Det er dog ikke altid at vi får opgivet rentefoden. Ofte får vi den såkalte årlige nominelle rente opgivet og får at vide, at der er f.eks. månedlige rentetilskrivninger. Det betyder at vi kan finde rentefoden ved at tage den årlige nominelle rente og dividere den ud på antallet af terminer på et år. Er den årlige nomielle rente på f.eks. 6% p.a. med månedlige rentetilskriverning, finder vi rentefoden ved: $$$\frac{6\%}{12}=0{,}5\%$$$

Vi kan se, at der tale om en årlig rente hvis der står "p.a." efter renten. P.a. er en forkortelse for "pro anno" som er latin for "pr. år". I det følgende vil vi gå ud fra at der er tale om den årlige nominelle rente, når vi opgiver en rente efterfulgt af p.a.

Øvelse 1

📌

Bestem rentefoden for følgende årlige nominelle renter.

  1. Renten er 12% p.a. med månedlige rentetilskrivninger.

    1%

  2. Renten er 12% p.a. med halvårlige rentetilskrivninger.

    6%

  3. Renten er 4% p.a. med kvartårlige rentetilskrivninger.

    1%

Effektiv rente

Men... er det virkelig det samme at få f.eks. 12% i renter om året som at få 1% om måneden? Vi kan prøve at regne efter. Antag at vi har 100 kr. på en konto. Vi prøver først med en enkelt rentetilskrivning på 12%:

$$$K_1=100\cdot (1+0{,}12)^1=112.$$$

Altså vil vi have 112,00 kr. på kontoen hvis vi kun har en enkelt rentetilskrivning på 12%.

Vi prøver nu med 12 rentetilskrivninger på 1%: $$$K_{12}=100\cdot (1+0{,}01)^{12}=112{,}68$$$

Altså vil vi have 112,68 kr. på kontoen hvis vi har 12 rentetilskrivninger på 1%.

Så hvis vi har en årlig nomimel rente på 12% med månedlige rentetilskrivninger, får vi altså mere end 12% tilskrevet om året. Vi får faktisk 12,68% tilskrevet. Denne rente kaldes den årlige effektive rente og omskrevet til decimaltal betegnes den $$r_\textrm{eff}$$. Fænomenet kaldes også "renters rente".

Sætning 1

📌

Vi finder den årlige effektive rente $$r_\textrm{eff}$$ (som decimaltal) ud fra rentefoden $$r$$ ved: $$$r_\textrm{eff}=(1+r)^n-1,$$$ hvor $$n$$ er antallet af terminer på et år.

Øvelse 2

📌

Bestem den effektive rente for følgende nominelle renter. Husk først at finde rentefoden først.

  1. Renten er 4% p.a. med månedlige rentetilskrivninger.

    4,07%

  2. Renten er 24% p.a. med halvårlige rentetilskrivninger.

    25,44%

  3. Renten er 10% p.a. med kvartårlige rentetilskrivninger.

    10,38%

Øvelse 3

📌

Martin sætter 2000 kr. i banken. Renten er på 2% p.a. med månedlige rentetilskriverninger.

  1. Bestem hvor mange penge Martin har på sin konto efter 3 år.

    2123,57 kr.

  2. I hvor lang tid skal pengene stå i banken før Martin har 2200 kr.?

    58 terminer dvs. 4 år og 10 måneder.

  3. Bestem den årlige effektive rente.

    2,02%

Øvelse 4

📌

Michael sætter et beløb ind på en tom bankkonto. Kontoen bliver tilskrevet 0,5% i rente hver måned. Efter 2 år står der 1690,74 kr. på kontoen.

  1. Angiv rentefoden.

    0,5%

  2. Bestem den årlige nominelle rente.

    6%

  3. Bestem den årlige effektive rente.

    6,17%

  4. Bestem hvor meget Michael oprindeligt satte ind på sin konto.

    1500 kr.

Øvelse 5 (svær)

📌

En konto tilskrives en årlig effektiv rente på 6,17%. Der er månedlige rentetilskrivninger.

Bestem den årlige nominelle rente.

6%