Beviser

Bevis:
Antag vi har en kapital $$K$$ der bliver tilskrevet rentefødderne $$r_1,r_2,r_3,\ldots, r_n$$. Vi leder nu efter en rentefod som tilskrevet $$n$$ gange til $$K$$ giver samme resultat: $$$K\cdot (1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdot\cdots\cdot (1+r_n)=K\cdot (1+r_g)^n$$$

Vi dividerer med $$K$$ på begge sider: $$$(1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdot\cdots\cdot (1+r_n)=(1+r_g)^n$$$

Vi tager den $$n$$'te rod på begge sider: $$$\sqrt[n]{(1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdot\cdots\cdot (1+r_n)}=1+r_g$$$

Bevis Fremtidsværdien betyder at alle ydelserne skal fremskrives til det tidspunkt, hvor det sidste ydelse ligger. Altså får vi : $$$A_n=y+y(1+r)+y(1+r)^2+\cdots + y(1+r)^{n-1}$$$

Vi sætter $$a=1+r$$: $$$A_n=y+ya+ya^2+\cdots +ya^{n-1}$$$

Vi sætter $$y$$ ud foran parentesen: $$$A_n=y(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})$$$

Vi vil nu gange højresiden med $$a-1$$, hvorefter vi dividerer med $$a-1$$. $$$A_n=y\frac{(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})(a-1)}{a-1}$$$

Vi ganger parenteserne ud: $$$A_n=y\frac{a+a^2+\cdots +a^n-1-a-a^2-\cdots-a^{n-1}}{a-1}$$$

Vi reducerer: $$$A_n=y\frac{a^n-1}{a-1}$$$