Annuitetslån

Et annuitetslån er et lån som tilbagesbetales med faste ydelser med faste mellemrum. På den måde minder det om en annuitetsopsparing - det er bare et lån i stedet for en opsparing. Lånets størrelse ved oprettelsen kaldes hovedstolen. Vi bruger betegnelserne:

Betegnelse Betydning
$$y$$ Ydelsen: Det beløb vi betaler tilbage hver termin. Det er et fast beløb.
$$n$$ Antallet af ydelser.
$$r$$ Rentefoden som decimaltal
$$A_0$$ Hovedstolen (hvor meget der er lånt). Kaldes også annuitetens nutidsværdi. Det lille "0" er et "nul" og ikke bogstavet o!

Dette kan vi illustrere på en tidslinje:

Tidslinje

Lige som ved annuitesopsparing er det svært at tænke sig til, hvordan man regner f.eks. nutidsværdien, så derfor har vi en sætning til hjælp:

Sætning 1

📌

For et annuitetslån kan nutidsværdien $$A_0$$ bestemmes ved: $$$A_0=y\cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$$

Øvelse 1

📌
Bestem nutidsværdien når $$y=300$$, $$n=5$$ og $$r=0{,}012$$

$$A_0=1447{,}48$$

Øvelse 2

📌

En dame låner hele købesummen til et hus. Hun afbetaler med 37577,51 kr., hver måned i 30 år (i alt 360 ydelser)... (Det gad jeg bare ik'). Renten er på 5% p.a.

  1. Hvad er rentefoden (terminsrenten)?

    0,42%

  2. Hvad kostede huset?

    7 millioner.

Ligesom ved annuitetsopsparing findes formlen for annuitetslån i flere versioner:

Nutidsværdien Ydelsen Antallet af ydelser Rente
$$A_0=y\cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$ $$y=\frac{A_0\cdot r}{1-(1+r)^{-n}}$$ $$n=-\frac{\ln\big(1-\frac{A_0\cdot r}{y}\big)}{\ln(1+r)}$$ Se Eksempel 1

Eksempel 1

📌

Vi vil bestemme renten for et annuitetslån med $$A_0=30000$$, $$n=48$$ og $$y=688{,}16$$.

Der findes ingen formel for renten så vi bruger Excel. Vi skriver i en celle:

=RENTE(48;688,16;-30000). Læg mærke til minusset foran hovedstolen. Har du en engelsk Excel hedder det "RATE" istedet for "RENTE".

Mit Excel viser svaret som 0%:

Nul procent

Jeg trykker på knappen for flere decimaler:

Flere decimaler knap

og får svaret 0,40%

Øvelse 3

📌

En mand køber bil til 450.000 kr. Han skal betale bilen af med kvartårlige ydelser over 10 år (40 ydelser i alt). Renten er 6% p.a.

  1. Bestem rentefoden

    r=1,5%

  2. Bestem hvor meget han skal betale tilbage hvert kvartal.

    $$y=15042{,}20$$ kr.

Øvelse 4

📌

En elev går amok og ødelægger inventaret i sit klasseværelse. Rektor beslutter at eleven skal erstatte det han har ødelagt. Eleven har ødelagt for 35.000 kr. Da eleven ikke har så mange penge må eleven låne pengene af en lånehaj. Eleven skal hver måned betale 771,68 kr. af på lånet. Renten er 24% p.a.

  1. Bestem antallet af ydelser.

    120

  2. Bestem hvor mange år der går før eleven har fået tilbagebetalt lånet.

    10 år

Øvelse 5

📌
Hvor mange terminer er der i et annuitetslån når der er $$n$$ ydelser?

Der er også $$n$$ terminer.

Øvelse 6

📌

Brøndby IF låner 18 mio kr. af Jan Bech Andersen. Brøndby vælger at afdrage med et annuitetslån over 9 måneder med en månedlig ydelse på 2532421,44 kr.

Bestem den månedlige rente

5%