Logaritmefunktioner
Logaritmefunktioner er det værktøj vi har brug for, når vi skal løse ligninger med eksponentielle funktioner. Vi har tidligere bemærket at eksponentielle funktioner er invertible (dvs. har omvendte funktioner) og det benytter vi til at definere logaritmefunktioner:
Definition 1
Titalslogaritmen defineres som den omvendte funktion til $$f(x)=10^x$$ og betegnes med $$\log(x)$$.
Definition 2
Den naturlige logaritmefunktion defineres som den omvendte funktion til $$f(x)=e^x$$ og betegnes med $$\ln(x)$$ (det er et "L" ikke et "i").
Det første spørgsmål der melder sig, når man ser disse definitioner er "hvad er forskriften?". Det er rigtigt at vi normalt definerer funktioner ved en forskrift, men det er ikke så enkelt at skrive en forskrift op for en logaritmefunktion. Det kan godt lade sige gøre at beregne funktionsværdier for logaritmefunktioner men det er for svært til os. Vi vil nøjes med at tænke på logaritmefunktioner som omvendte funktioner og så lade lommeregneren/computeren beregne funktionsværdierne på mystisk vis. For særligt nemme tal kan vi dog godt udregne logaritmeværdierne:
Eksempel 1
Vi vil gerne bestemme $$\log(1000)$$.
Da $$\log(x)$$ er den omvendte funktion til $$10^x$$ skal vi altså finde et $$x$$ så $$10^x=1000$$. Det må selvfølgelig være 3 da $$10^3=1000$$. Derfor må $$\log(1000)=3$$.
Øvelse 1 (lidt svær måske)
Bestem uden brug af computer/lommeregner:
-
$$\log(100)$$, $$\log(10000)$$.
$$\log(100)=2$$ og $$\log(10000)=4$$.
-
$$\ln(e)$$.
$$\ln(e)=1$$
Logaritmefunktioner i Excel og Geogebra
I Excel og Geogebra hedder titalslogaritmen "log10()", mens den naturlige logaritmefunktion hedder "ln()". Man skal generelt passe på med at skrive "log()" fordi det kan betyde alt muligt alt efter sprog/værktøj.
Øvelse 2
Beregn vha. Excel eller din lommeregner følgende værdier:
-
$$\log(5)$$
$$\log(5)=0{,}70$$
-
$$\log(7)$$
$$\log(7)=0{,}85$$
-
$$\ln(10)$$
$$\ln(10)=2{,}3$$
Øvelse 3
-
Ved at tegne i Geogebra skal du finde bestemme definitionsmængden og værdimængden for$$f(x)=\log(x)$$ og $$f(x)=\ln(x)$$.
Begge dele har Dm$$(f)=]0;\infty[$$ og Vm$$(f)=\mathbb{R}$$.
-
Prøv at bestem $$\log(-1)$$ vha. Excel/lommeregner. Du får en fejl. Hvorfor?
Tallet -1 er ikke i definitionsmængden og derfor ikke et "muligt $$x$$".
Nåh men, vi var interesserede i logaritmer fordi de kan bruges til at løse ligninger med eksponentielle funktioner. Det kan de pga. følgende sætning:
Sætning 1
For funktionerne $$\ln(x)$$ og $$\log(x)$$ gælder: $$$\ln(a^x)=x\ln(a)\quad\textrm{ og }\quad\log(a^x)=x\log(a).$$$
Eksempel 2
Vi vil nu vise, hvor dan vi kan bruge sætning 1 til at løse en ligning med en eksponetiel funktion. Kan I huske dengang vi kiggede på funktionen $$f(x)=5\cdot 1{,}1^x$$ og ligningen $$f(x)=6$$? Den gang løste vi den ved grafisk aflæsning. Nu vil vi løse den ved beregning. Vi har: $$$5\cdot 1{,}1^x=6.$$$ Vi dividerer med $$5$$ på begge sider: $$$1{,}1^x=\frac{6}{5},$$$ dvs. $$$1{,}1^x=1{,}2.$$$ Nu tager vi ln på begge sider: $$$\ln(1{,}1^x)=\ln(1{,}2)$$$ og benytter sætning 1: $$$x\ln(1{,}1)=\ln(1{,}2).$$$ Vi dividerer med $$\ln(1{,}1)$$ på begge sider: $$$x=\frac{\ln(1{,}2)}{\ln(1{,}1)},$$$ hvorefter vi regner højresiden ud på lommeregner eller Excel: $$$x=1{,}91.$$$ Smart ikke?
Øvelse 4
Løs ved beregning ligningerne:
-
$$f(x)=10$$ for $$f(x)=4\cdot 0{,}5^x$$
$$x=-1{,}32$$
-
$$3\cdot 2^x=5$$
$$x=0{,}74$$
-
$$100=7^x$$
$$x=2{,}37$$
Øvelse 5 (svær men sjov)
Et stykke papir er 0,0001m tykt. Afstanden til fra Jorden til Månen er 384400000 m.
Vi folder nu papireret på midten $$x$$ gange.
-
Opstil en forskrift som beskriver tykkelsen af papiret $$f(x)$$ som funktion af $$x$$.
$$f(x)=0{,}0001\cdot 2^x$$
-
Hvor mange gange skal vi folde det før vi det kan nå hele vejen til månen?
42 gange