Introduktion
Vi starter selvfølgelig med at definere hvad en eksponentiel funktion er:
Definition 1
En eksponentiel funktion er en funktion på formen $$f(x)=ba^x$$, hvor $$a>0$$ $$a\neq 1$$ og $$b>0$$.
Tallet $$a$$ kaldes grundtallet (eller fremskrivningsfaktoren) og $$b$$ kaldes begyndelsesværdien.
Ud fra $$a$$ kan vi bestemme hvor meget funktionen vokser og $$b$$ viser hvor funktionen skærer $$y$$-aksen. Mere om det senere...
Øvelse 1
Sig "eksponentiel funktion" højt 5 gange efter hinanden.
Tryk "lyt" 5 gange her: Eksponentiel funktion
Øvelse 2
I definition 1 stod der at $$a>0$$, $$a\neq 1$$ og $$b>0$$.
Hvad betyder det?
$$a>0$$ betyder at $$a$$ skal være større ned nul. At $$a\neq 1$$ betyder at $$a$$ ikke må være 1. At $$b>0$$ betyder at $$b$$ skal være større end nul.
Øvelse 3
Bestem $$a$$ og $$b$$ i følgende eksponentielle funktioner.
-
$$f(x)=2\cdot 5^x$$
$$a=5$$ og $$b=2$$.
-
$$f(x)=3000\cdot 1{,}02^x$$
$$a=1{,}02$$ og $$b=3000$$.
-
$$f(x)=1{,}4^x$$
$$a=1{,}4$$ og $$b=1$$
Øvelse 4
Afgør hvilke af følgende funktioner der er eksponentielle funktioner:
-
$$f(x)=2\cdot 3^x$$
yes den er god nok
-
$$f(x)=2x^2+1$$
nope
-
$$f(x)=4\cdot x^2$$
næh
-
$$f(x)=1{,}3^x$$
jes
-
$$f(x)=20\cdot 1^x$$
duer ikke
-
$$f(x)=-3\cdot 6^x$$
no
-
$$f(x)=5\cdot 1^x$$
nah
Øvelse 5
Lad $$f(x)=5000\cdot 1{,}6^x$$.
-
Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.
Grundtallet $$a$$ er 1,6 og begyndelsesværdien $$b$$ er 5000.
-
Bestem $$f(-1)$$ og $$f(3)$$.
$$f(-1)=3125$$ og $$f(3)=20480$$.
Øvelse 6
Antag at indbyggertallet i en bestemt by kan beskrives med funktionen $$f(x)=10312\cdot 1{,}05^x$$, hvor $$x$$ er antal år efter 2014.
-
Hvor mange indbyggere er der i byen 5 år efter 2014?
Der er 13161 indbyggere i byen efter 5 år.
-
Hvor mange indbyggere er der i byen i år 2025?
Der er 17637 indbyggere i år 2025.