Eksponentiel regression

Kan I huske vi tidligere har lært om lineær regression? Eksponentiel regression er tilsvarende, men bare med eksponentielle funktioner i stedet for lineære (Surprise!).

Vi vil nu se på et eksempel, hvor nogle elever spiller computerspillet "Battle of Middle Earth". Battle of Middle Earth er et såkalt RTS-spil og RTS-spil bliver ofte kritiseret for at spillernes styrke vokser eksponentielt. Vi vil nu undersøge om det er tilfældet.

Efter hvert spil kan vi se en graf over spillernes udvikling. Vi aflæser følgende tabel for den vindende spillers udvikling:

Tabel

Du kan downloade Excel-filen her.

Vi rammer tallene ind og indsætter et punktdiagram:

Tabel

Vi har nu et xy-plot:

Tabel

Vi kan se, at udvilkingen vokser hurtigere og hurtigere, men er det mon virkelig en eksponentiel udvikling? Vi prøver at indsætte en tendenslinje. Vi højreklikker (to-fingre-klikker) på et af punkterne og vælger tilføj tendenslinje:

Tabel

I indstillinger markerer vi "Eksponentiel", "Vis ligning i diagram" og "Vis R-kvardreret værdi i diagram":

Tabel

Vi får nu denne tendens-"linje":

Tabel

Vi har en $$R^2$$-værdi på 0,95 (determinationskoefficienten), hvilket tyder på vi godt kan bruge en eksponentiel funktion til at beskrive udviklingen. Vi husker nemlig, at jo tættere $$R^2$$ er på 1, jo tættere ligger punkterne på grafen. Men kigger vi på grafen kan vi alligevel se, at punkterne ikke passer helt. Grafen er for krum. Så måske ville en lineær funktion beskrive grafen bedre?

Vi ser at Excel giver os forskriften: $$y=7019{,}1\cdot e^{0{,}0824x}$$. Det er lidt noget møg, da vi jo plejer at skrive eksponentielle funktioner som $$f(x)=b\cdot a^x$$. Heldigvis kan vi omskrive funktionen. Vi kan direkte bruge 7019,1 som $$b$$-værdi og a udregnes ved:$$$a=e^{0{,}0824}=1{,}08589.$$$ Altså har vi: $$$f(x)=7019\cdot 1{,}086^x$$$

Øvelse 1

📌

I eksemplet oven over beskrev vi en spillers "Final Score" ved funktionen $$f(x)=7019\cdot 1{,}086^x$$, hvor $$x$$ var antallet af minutter inde i spillet.

  1. Hvor mange procent øgede spilleren sin Final Score med pr. minut?

    8,6%

Øvelse 2

📌
Undersøg om om en lineær funktion beskriver spillernes "Final Score" i eksemplet ovenover bedre end en eksponentiel.

Ja en lineær funktion er lidt bedre. Den giver nemlig $$R^2=0{,}96$$. Vi kan dog se på punkterne at udviklingen tydligvis krummer op ad. Så det er heller ikke helt tilfredsstillende med en lineær funktion.

Du kan downloade Excel-filen her

Øvelse 3 (lidt svær)

📌
Hvorfor kan det ødlægge et spil, hvis spillernes styrke vokser eksponentielt?

Fordi eksponentielle funktioner vokser med en fast procent betyder det, at små forskelle imellem spillerne bare bliver større og større i løbet af spillet. Hvis man f.eks. hele tiden formår at udvilke sig med bare 1% ekstra end ens modspillere, vil ens fordel blive større og større, fordi det man tager procenten af bliver højere igennem spillet.

Øvelse 4 (meget svær)

📌
Bevis at $$ba^x=b e^{kx}$$, når $$a=e^k$$.

Vi regner: $$$ba^x=b(e^k)^x=b e^{kx}.$$$

VINK: Du får brug for regnereglen $$(a^m)^n=a^{mn}$$.

Øvelse 5

📌

Du regne på USA's BNP i perioden 1950-1990.

Udviklingen kan ses her.

  1. Lav en ny tabel, hvor du i stedet for årstal har antal år efter 1950.

    Tabel)

  2. Lav et xy-plot af den nye tabel.

    Tabel)

  3. Redgør for at udviklingen kan beskrives med en eksponentiel funktion.

    Udviklingen kan beskrives med en eksponentiel funktion da vi får $$R^2=0{,}9885$$ ved indsættelse af en eksponentiel tendenslinje.

  4. Opstil en model $$f(x)=be^{kx}$$, som beskriver udviklingen i BNP som funktion af antal år efter 1950.

    $$f(x)=264{,}41e^{0{,}0772x}$$

  5. Opstil en model $$f(x)=ba^x$$, som beskriver udviklingen i BNP som funktion af antal år efter 1950.

    $$f(x)=264{,}41\cdot 1{,}080^x$$

  6. Forklar betydningen af $$a$$ og $$b$$ i denne model.

    $$b=264$$ betyder at der ifølge modellen var et BNP på 264 millarder dollars i USA i 1950. At $$a=1{,}080$$ fortæller os at USA's BNP ifølge modellen er vokset med 8,0%, hvert år i perioden 1950-1990.

  7. Beregn med udgangspunkt i modellen USA's BNP i 1995.

    ca. 8440 milliarder dollars.

Øvelse 6

📌

I dette Excel-ark ses udviklingen i maksimum harddisk-kapacitet for almindelige harddiske i perioden 1991-2011.

  1. Opstil en en eksponentiel model $$f(x)=ba^x$$, hvor $$f(x)$$ er den maksimale harddiskkapacitet og $$x$$ er antal år efter 1991. Hvor godt passer modellen?

    $$f(x)=1{,}1931\cdot 1{,}5176^x$$. Modellen passer rigtig godt, da $$R^2=0{,}997$$ er meget tæt på 1 (og punkterne ligger pænt)

  2. Forklar betydningen af $$a$$ og $$b$$ i denne model.

    $$a=1{,}5176$$ fortæller os at harddiskkapaciteten vokser med ca. 52% hvert år. At $$b=1{,}1931$$ fortæller os at maksimumskapaciteten ifølge modellen var 1{,}19 GB i 1991.

  3. Bestem fordoblingskonstanten for $$f(x)$$ og forklar betydningen af denne.

    $$T_2=1{,}66$$ betyder at det tager ca. 20 måneder (1{,}66 år er 20 måneder) for producenterne at gøre hardiskene dobbelt så store.