Dele af fysikken kræver en forståelse af trigonometriske funktioner. Her er det ikke helt nok at kunne aflæse værdier i en enhedscirkel eller løse en trigonometrisk ligning. I dette afsnit vil vi bygge på, så vi er klar til de udfordringer,
vi møder med trigonometriske funktioner i fysikken.
Beregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter
I forbindelse med analyse af kræfter har vi brug for at regne sider og vinkler i retvinklede trekanter. Følgende sætning burde være kendt fra folkeskolen (måske formuleret lidt anderledes).
Vi vi beregne længden af hypotenusen \(c\). Vi finder en formel fra sætning 6.5.1, som indeholder de to størrelser vi kender (vinkel og modstående
katete)
b) Bestem resten af vinklerne og siderne i trekanten.
Løsning 6.5.2
a) \(v=53{,}13\degree \)
b) Den sidste vinkel er \(36{,}87\degree \) og hypotenusen er \(5\)
Harmoniske svingninger
I fysik bruges harmoniske svingninger til at beskrive bølger.
Definition 6.5.1 En harmonisk svingning er en funktion på formen
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\]
hvor:
\(a\) er et positivt tal som kaldes amplituden
\(b\) er et positivt tal som kaldes vinkelfrekvensen,
\(c\) et tal som kaldes faseforskydningen.
Grafen for harmonisk svingning ligner grafen for sinus, borset fra den er strukket/sammenpresset i vandret og/eller lodret regning. Hvordan grafen bliver forskudt/strukket afhænger af værdien af konstanterne i definitionen.
Amplitude
Amplituden er konstanten \(a\) i den harmoniske svingning \(f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\). Vi husker at sinus er andenkoordinaten til retningspunktet på enhedscirklen. Derfor vil sinus svinge mellem \(-1\) og \(1\). Når vi så
ganger med \(a\), kommer funktionsværdierne til at svinge mellem \(-a\) og \(a\). Så amplituden \(a\) viser altså, hvor meget grafen er strukket i lodret retning.
Eksempel 6.5.3 Betragt grafen for \(f(x)=3\cdot \sin (2x+1)\):
Amplituden for \(f\) er \(3\), så vi forventer at grafen svinger mellem \(-3\) og \(3\) på \(y\)-aksen. Vi ser det passer med grafen.
Øvelse 6.5.3
Lad \(f(x)=7\cdot \sin (5x-2)\)
a) Bestem ud fra forskriften definitionsmængden for \(f\).
b) Bestem ud fra forskriften værdimængden for \(f\).
Løsning 6.5.3
a) \(\Dm (f)=\mathbb {R}\) (der er ikke nogle tal som man ikke kan sætte ind i forskriften)
b) \(\Vm (f)=[-7;7]\)
I forbindelse med bølger vil amplituden afgøre, hvor meget energi der er i bølgen. Høj amplitude betyder meget energi.
Vinkelfrekvens
Vinkelfrekvensen er konstanten \(b\) i den harmoniske svingning:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c).\]
Vinkelfrekvensen afgør hvor hurtigt funktionen svinger. Det vil vi forklare med udgangspunkt i funktionerne:
Vi vil se på de to funktioners funktionsværdi, når \(x=\frac {\pi }{4}\). Vi tegner to enhedscirkler. En med vinklen \(x\) og en med vinklen \(2x\):
.
\(f(x)=\sin (x)=0{,}71\)
\(g(x)=\sin (2x)=1\)
Vi ser, at \(g\) bevæger sig dobbelt så hurtigt rundt i enhedscirklen som \(f\). Grafen for \(g\) former sig derfor som grafen for \(f\) bare dobbelt så hurtigt. Så mens perioden for \(f\) er \(2\pi \), er perioden for \(g\) kun
\(\pi \). Graferne kommer altså til at se således ud:
Perioden kan bestemmes ud fra vinkelfrekvensen \(b\) ved følgende formel (som vi beviser i ekstraafsnittet):
\[T=\frac {2\pi }{b}\]
Eksempel 6.5.4 Antag at perioden for en trigonometrisk funktion er \(8\pi \). Vi vi bestemme vinkelfrekvensen. Vi har
\[T=\frac {2\pi }{b}.\]
Vi isolerer \(b\)
\[b=\frac {2\pi }{T},\]
og indsætter perioden
\[b=\frac {2\pi }{8\pi }=\frac {1}{4}.\]
Vi konkluderer at vinkelfrekvensen er \(\frac {1}{4}\).
Øvelse 6.5.4
Betragt den harmoniske svingning:
a) Bestem amplituden
b) Bestem perioden
c) Beregn vinkelfrekvensen
Løsning 6.5.4
a) \(a=2\)
b) \(T=\frac {\pi }{2}\)
c) \(b=4\)
Vær opmærksom på at i fysik optræder der også begrebet frekvens som betegnes med \(f\). Det er noget andet end vinkelfrekvens. Man snakker om frekvens, når man har tid ud
af \(x\)-aksen. Her er viser frekvensen antallet af svingninger (perioder) på \(1\) sekund, og den kan beregnes ud fra perioden ved:
\[f=\frac {1}{T}\]
Øvelse 6.5.5 (Svær)
Frekvensen \(f\) er antallet af svingninger på \(1\) sekund.
a) Argumenter for at \(f\) kan bestemmes ved formlen \(f=\frac {1}{T}\)
Løsning 6.5.5
a) Betragt et vilkårligt tidsrum \(\Delta t\). Frekvensen angiver antallet af svingninger på et sekund, så den må være givet ved
\[f=\frac {\text {Antal svingninger i løbet af } \Delta t}{\Delta t}\]
Hvis nu vælger \(\Delta t = T\) får vi
\[f=\frac {\text {Antal svingninger på en periode}}{T}\]
men på en periode er der pr. definition \(1\) svingning, så
\[f=\frac {1}{T}\]
Øvelse 6.5.6 (Svær)
Frekvensen kan beregnes ud fra vinkelfrekvensen \(b\). Formlen er:
\[f=\frac {b}{2\pi }\]
a) Bevis formlen. VINK: Du får brug for at inddrage formlen for vinkelfrekvens: \(T=\frac {2\pi }{b}\).
Løsning 6.5.6
a) Frekvensen \(f\) kan regnes ud fra perioden \(T\) med formlen:
\[f=\frac {1}{T}\]
Perioden kan regnes ud fra vinkelfrekvensen ved \(T=\frac {2\pi }{b}\), så det kan vi indsætte i stedet for perioden:
\[f=\frac {1}{\frac {2\pi }{b}}\]
Vi forlænger den store brøk med \(b\):
\[f=\frac {b}{2\pi }\]
Faseforskydningen
Faseforskydningen er konstanten \(c\) i den harmoniske svingning:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c).\]
Faseforskydningen forskyder grafen i vandret retning. Men forskydningen afhænger ikke kun af \(c\). Den afhænger også af \(b\). Grafen forskydes nemlig med \(\frac {c}{b}\) til venstre. Hvis \(c<0\), får vi en negativ
forskydning til venstre, hvilket selvfølgelig svarer til en positiv forskydning til højre. Så hvis f.eks. \(c=\pi \) og \(b=2\) vil grafen blive forskudt med \(\frac {c}{b}=\frac {\pi }{2}\) til venstre – altså i forhold til hvis \(c\)
var nul.
Grafer for \(f(x)=\sin (2x)\) og \(g(x)=\sin (2x+\pi )\).
Hvis \(c\) er negativ bliver grafen forskudt til højre:
Grafer for \(f(x)=\sin (x)\) og \(g(x)=\sin (x-1)\).
Læg mærke til at når faseforskydningen er nul, så går grafen igennem \((0,0)\) og starter med at være voksende, så det er udgangspunktet, når vi skal finde ud af hvor meget grafen er forskudt.
Eksempel 6.5.5 Betragt den harmoniske svingning:
Vi vil bestemme faseforskydningen. Vi skal først bestemme \(b\). Den kan vi finde ud fra perioden. Vi aflæser perioden til at være \(2\pi \). Vi ved ved at perioden er givet ved:
\[T=\frac {2\pi }{b}\]
Vi indsætter \(T=2\pi \) og isolere \(b\): Det giver:
\[b=1\]
Vi er nu klar til at finde faseforskydningen \(c\). Vi tegner nu den samme harmoniske svingning ind, men denne gang forskyder vi den så den starter med at være voksende igennem \((0,0)\)
Vi kan se at den blå graf er forskudt med \(\frac {\pi }{4}\) til højre i forhold til den røde. Dvs. at
\[\frac {c}{b}=-\frac {\pi }{4}\]
Læg mærke til det negative fortegn. Det er fordi det er en forskydning til højre. Vi har allerede bestemt \(b=1\):
\[\frac {c}{1}=-\frac {\pi }{4}\]
hvilket må betyde at \(c=-\frac {\pi }{4}\).
Øvelse 6.5.7
Betragt grafen for en harmonisk svingning \(f(x)=a\cdot \sin (bx +c)\).
a) Bestem amplituden
b) Bestem perioden
c) Beregn vinkelfrekvensen
d) Bestem faseforskydningen
Løsning 6.5.7
a) \(a=3\)
b) \(T=4\pi \)
c) \(b=0{,}5\)
d) \(c=-\frac {\pi }{2}\)
Øvelse 6.5.8
Harmoniske funktioner kan også defineres ved:
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c)+d\]
Vi ser at der i denne definition er lagt en konstant \(d\) til. Denne konstant kaldes forskydningsaksen.
a) Forklar betydningen af konstanten \(d\). Hvis du er i tvivl om, hvordan du skal afgøre det, så husk på hvad der normalt sker med grafen for en
funktion, når man lægger en konstant til.
b) Aflæs værdien af \(d\) på grafen:
c) Bestem perioden.
d) Bestem resten af konstanterne i forskriften.
e) Bestem frekvensen
Løsning 6.5.8
a) Grafen forskydes med \(d\) langs \(y\)-aksen. Er \(d\) positiv forskydes grafen op, ellers forskydes den ned.
b) \(d=1\)
c) \(T=8\pi \)
d) \(a=3\), \(b=0.25\), \(c=0{,}75\pi \)
e) \(f=\frac {1}{8\pi }\)
Ekstra
Uledning af formler for vinkler og sider i retvinklede trekanter
Man kan undre sig over, hvor sætning 6.5.1 kommer fra. De trigonometriske funktioner er jo defineret ud fra enhedscirklen og hvad har det med
retvinklede trekanter at gøre? Lad os se på det. Først har vi brug for en sætning for ensvinklede trekanter:
Sætning 6.5.2 Lad der være givet to ensvinklede trekanter:
Vi starter med en enhedscirkel og en retvinklet trekant:
Vi flytter trekanten ind i enhedscirklen som vist her:
Ud fra retningspunktet for \(v\) tegner vi endnu en trekant
Vi har nu to ensvinklede trekanter. Da det øverste højre hjørne i den røde trekant er retningspunktet, må trekantens kateter have hhv. længderne \(\cos (v)\) og \(\sin (v)\). Hypotenusen i den røde trekant må være \(1\), da
det jo er radius i enhedscirklen. Så de to trekanter ser således ud.
Da de to trekanter er ensvinklede kan vi bruge sætning 6.5.1. Vi får
Bevis formlerne (fremgangsmåden er tilsvarende den du lige har set.):
a) \(\sin (v)=\frac {\text {modstående katete}}{\text {hypotenusen}}\)
b) \(\tan (v)=\frac {\text {modstående katete}}{\text {hosliggende katete}}\)
Løsning 6.5.9
a) Vis mig det.
b) Vis mig det.
Sammenhæng mellem periode og vinkelfrekvens
Man kan regne perioden ud fra vinkelfrekvensen med formlen
\[T=\frac {2\pi }{b}\]
Vi vil nu udlede denne formel. Vi har den harmoniske svingning
\[f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\]
Perioden er den (mindste) konstant \(T\) som opfylder:
\[f(x)=f(x+T)\]
Vi indsætter forskriften for \(f\):
\[a\cdot \sin (bx+c)=a\cdot \sin (b(x+T)+c)\]
Vi regner parentesen inde i sinus på højresiden:
\[a\cdot \sin (bx+c)=a\cdot \sin (bx+bT+c)\]
Vi kan se at der står det samme på begge sider bortset fra størrelsen \(bT\), som er lagt til inde i sinus funktionen på højresiden. Da sinus er periodisk med \(2\pi \), skal denne størrelse give \(2\pi \) før at vi får det samme på
begge sider af lighedstegnet. Dvs.
\[bT=2\pi \]
Vi deler med \(b\):
\[T=\frac {2\pi }{b}\]
Faseforskydning
Faseforskydningen forskyder grafen langs \(x\)-aksen. Mere præcist: Grafen for funktionen \(f(x)=a\cdot \sin (bx+c)\) fremkommer ud fra grafen for \(g(x)=a\cdot \sin (bx)\) ved at forskyde \(g\) med \(\frac {c}{b}\)
til venstre, hvis \(c>0\). Vi vil nu vise dette. Vi starter med en illustration af påstanden:
Tegning viser at \(f\) er opstået ud fra \(g\) ved en vandret forskydning til venstre med \(\frac {c}{b}\), hvis \(f\) opfylder \(f(x-\frac {c}{b})=f(x)\). Så vi skal altså eftervise at \(f(x-\frac {c}{b})=f(x)\).
