I dette afsnit skal vi se på flere detaljer i forhold til at bestemme niveaukurver og frie ekstrema.
Når \(c=0\)
Det er nemt at bestemme ligninger for niveaukurver når \(c=0\).
Eksempel 3.8.1 Lad \(f(x,y)=8x^2-4x-2y+6\). Vi vil bestemme en ligning for \(N(40)\). Det gør vi ved at sætte \(f(x,y)=40\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{2}\)
\begin{align*}
f(x,y) & = 40\\ 8x^2-4x-2y+6 & = 40\\ -2y & = -8x^2 + 4x + 34\\ y & = 4x^2-2x-17
\end{align*}
Vi konkluderer at ligningen for \(N(40)\) er \(y = 4x^2-2x+3-17\). Vi ser at \(N(40)\) er en parabel da ligningen har formen \(y=ax^2+bx+c\).
Vi vil også bestemme den generelle ligning for niveaukurven \(N(t)\). Det kan gøres ligesom for \(N(40)\), men denne gang vil jeg bruge GeoGebra CAS til at isolere \(y\):
Vi ser at ligningen for \(N(t)\) er:
\[y=4x^2-2x+3-\frac {1}{2}t.\]
Det kan være lidt svært lige at gennemskue at \(N(t)\) er en parabel. Men husk at \(t\) er en konstant så udtrykket \(3-\frac {1}{2}t\) er også en konstant og det er det som er konstantleddet \(c\) i parablens ligning
\(y=ax^2+bx+c\).
Øvelse 3.8.1
Lad \(f(x,y)=-9x^2+3y+12\)
a) Bestem en ligning for \(N(6)\). Brug GeoGebra til at isolere \(y\)
b) Bestem en ligning for \(N(t)\). Isoler \(y\) uden GeoGebra.
c) Gør rede for at \(N(t)\) er en parabel.
Løsning 3.8.1
a) \(y=3x^2-2\)
b) \(y=3x^2-4+\frac {1}{3}t\)
c) Vi ser at \(N(t)\) er en parabel da ligningen har formen \(y=ax^2+bx+c\).
Når \(a\) og \(c\) har samme fortegn
Eksempel 3.8.2 Lad \(f(x)=x^2 + 2 y^2 - 10 x - 16 y + 65\) Vi vil gøre rede for at \(N(12)\) er en ellipse og vi vil bestemme centrum og halvakser. Vi opstiller ligningen for niveaukurven \(N(12)\) ved
at sætte \(f(x,y)=12\):
\[x^2 + 2 y^2 - 10 x - 16 y + 65=12\]
Vi kunne nu bruge det vi har lært i sidste afsnit og omskrive ligningen til ellipseform. Men det er hårdt arbejde, så vi vælger at ”snyde” lidt. Vi taster den ind i et algebravindue i GeoGebra og højreklikker på ligningen. Vi
ser at man nu kan vælge ligningen på ellipseform:
Vi får altså:
Vi ser at niveaukurven nu er blevet omskrevet til ellipseform, hvilket må betyde at den er en ellipse. Vi kan også aflæse centrum \((5,4)\) og halakser \(a=\sqrt {4}=2\) og \(b=\sqrt {2}\approx 1.41\).
Øvelse 3.8.2
Lad \(f(x,y) = 9 x^2 + 4 y^2 - 54 x - 32 y + 229\)
a) Gør rede for at \(N(120)\) er en ellipse.
b) Bestem centrum og halvakser for \(N(120)\)
c) Tegn \(N(120)\)
Løsning 3.8.2
a) Ved at taste ligningen ind i GeoGebra og højreklikke kan den omskrives til ellipseform:
\[\frac {(x-3)^2}{4}+\frac {(y-4)^2}{9}=1.\]
Altså er niveaukurven en ellipse.
b) Centrum er \((3,4)\), den vandrette halvakse er \(2\) og den lodrette halvakse er \(3\).
c)
Det er ikke for alle værdier af \(t\) at \(N(t)\) er en ellipse. Antag f.eks. at funktionen har et frit maksimum \(m\). Da funktionen ikke kan blive højere end \(m\) kan det ikke lade sig gøre at tegne en niveaukurve, hvis \(t>m\).
Der er nemlig ingen punkter som vil opfylde ligningen for denne niveaukurve. Skal vi udtale os mere generelt om niveaukurverne når \(a\) og \(c\) har samme fortegn, har vi brug for følgende sætninger:
Sætning 3.8.1 Lad \(f(x,y)=ax^2+bx+cy^2+dy+e\), og antag at \(a\) og \(c\) har samme fortegn (som
ikke er nul selvfølgelig). Da har \(f\) frit ekstremum i punktet
Hvis \(a\) og \(c\) er positive er det frie ekstremum et minimum ellers er det et maksimum.
Ovenstående sætning fortæller os altså hvordan vi finder det frie ekstremum. Når vi har det frie ekstremum kan vi finde ud af hvilke værdier af \(t\) som er mulige for niveaukurven \(N(t)\):
Sætning 3.8.2 Lad \(f(x,y)=ax^2+bx+cy^2+dy+e\) og antag at \(f\) har frit ekstremum \(m\).
Hvis \(a>0\), \(c>0\) og \(t>m\) så er er niveaukurven \(N(t)\) en ellipse. Vælges en højere værdi for \(t\) fås en større ellipse. Alle niveaukurverne har samme centrum.
Hvis \(a<0\), \(c<0\) og \(t<m\) så er er niveaukurven \(N(t)\) en ellipse. Vælges en højere værdi for \(t\) fås en mindre ellipse. Alle niveaukurverne har samme centrum.
Hvis \(a=c\) i en af de to ovennævnte situationer, så er niveaukurverne tilmed cirkler.
Med de to sætninger kan beskrive niveaukurverne:
Eksempel 3.8.3 Lad \(f(x,y)=4 x^2 + y^2 - 16 x - 8 y + 38\). Vi vil undersøge hvordan niveaukurverne ser ud. Vi regner først det frie ekstremum \(m\):
\(\seteqnumber{0}{3.}{2}\)
\begin{align*}
m & = e-\frac {b^2}{4a}-\frac {d^2}{4c} \\ & = 38-\frac {(-16)^2}{4\cdot 4}-\frac {(-8)^2}{4\cdot 1} \\ & = 38-16-16 \\ & = 6
\end{align*}
Da \(a>0\) og \(c>0\) kan vi ud fra sætning 3.8.2 konkludere at niveaukurverne \(N(t)\) er ellipser for \(t>6\), hvor store
ellipser svarer til høje niveauer.
Øvelse 3.8.3
Lad \(f(x,y)=-x^2 - 4 y^2 + 10 x + 16 y - 23\).
a) Gør rede for at niveaukurverne \(N(t)\) er ellipser for \(t<18\).
b) Gør rede for at \(N(10)\) er en ellipse
c) Tegn \(N(10)\)
Løsning 3.8.3
a) Vi regner \(m\) og får \(18\). Da \(a<0\) og \(c<0\) kan vi ud fra sætning 3.8.2 konkludere at niveaukurverne \(N(t)\) er ellipser for \(t<18\)
b) Da \(10<18\) og \(N(t)\) er en ellipse for \(t<18\), må \(N(10)\) være en ellipse.
c)
Ekstra
Vi har også en sætning, der fortæller os noget om niveaukurverne for parabler:
Sætning 3.8.3 Lad \(f(x,y)=ax^2+bx+cy^2+dy+e\).
Hvis \(a\neq 0\), \(d\neq 0\) og \(c=0\), så er niveaukurven \(N(t)\) en parabel for alle værdier af \(t\). Ændres \(t\) vil parablen parallelforskydes i lodret regning. Der gælder:
• Hvis \(d\) er positiv vil en højere værdi for \(t\) forskyde parablen op.
• Hvis \(d\) er negativ vil en højere værdi for \(t\) forskyde parablen ned.
• Hvis \(a\) og \(d\) har samme fortegn er der tale om en konkav parabel, ellers er den konveks.
Sammen med den tilsvarende sætning for ellipser (sætning 3.8.2) er de grundlaget for den teknik vi bruge i starten af kapitlet til at lave
kvadratisk programmering. Den gang tegnede vi nemlig kun to niveaukurver, men tillod os at generalisere ud fra de to. Vi konkluderet f.eks. at hvis vi havde en lille ellipse som svarede til et højt niveau og en større ellipse som
svarede til et mindre niveau, så ville niveauerne blive ved med at falde i takt med at ellipserne blev større. De to sætninger er argumentet for at dette er rigtigt.
Grafer for kvadratiske funktioner i to variable
Du kunne måske tænkte at du allerede har set grafer for de kvadratiske funktioner i to variable, men niveaukurver er ikke grafer. I det stedet kan man tænke på niveaukurver som vandrette snit igennem en graf (om lidt vil det
fremstå mere klart hvad jeg mener med det).
Alle funktioner i to variable har grafer i tre dimensioner i stedet for to som vi er vant til. Lad os tage udgangspunkt i funktionen
\[f(x,y)=0{,}64 x^2 - 6{,}4 x + y^2 - 10y + 41\]
Vi kan tegne grafen ved at vælge et \((x,y)\), regne \(f(x,y)\) og tegne punktet ind. Det svarer helt til det vi gjorde for funktioner i to variable. Lad os vælge punktet \((5,3)\):
\[\begin {array}{|c|c|} \hline x & 5 \\ \hline y & 3 \\ \hline f(x,y) & 4 \\ \hline \end {array}\]
Grafen konstrueres nu på følgende måde:
Først tegnes punktet ind.
Grafen fremkommer når vi tegner rigtig mange punkter.
Niveaukurven kan nu konstrueres:
Nu bestemmes \(N(7).\) Den består af alle de punkter som har en funktionsværdi på \(7\) så derfor tegnes en vandret flade ind i koordinatsystem med en højde på \(7.\)
Der hvor fladen skærer grafen for \(f\) må være der hvor \(f\) har værdier \(7\). Så vi har tegnet en kurve som følger skæringen mellem \(f\) og fladen. Dette er niveaukurven \(N7.\)
Nu fjernes alt undtagen niveaukurven.
Koordinatsystemet drejes nu, så man ser det fra oven (som om vi står på toppen af z-aksen og kigger ned). Tadaaaa! en helt normal niveaukurve.
Øvelse 3.8.4
Vi kigger på grafen fra konstruktionen oven over.
Funktionen \(f\) har et frit ekstremum.
a) Er det frie ekstremum et minimum eller maksimum?
b) Bestem ekstremumsstedet ved aflæsning på grafen (ikke niveaukurven). Jaja, det er svært at gøre ordenligt. Både x og y-aksen er 10 enheder lange.
c) Bestem ekstremumsværdien ved aflæsning på grafen. JAJA JEG VED DET ER SVÆRT.
Løsning 3.8.4
a) Minimum
b) \((5,5)\).
c) \(0\).
Øvelse 3.8.5
Graf 1
Graf 2
Graf 3
graf 4
a) Afgør, hvad man kan sige om koefficienterne for graf 1.
b) Afgør, hvad man kan sige om koefficienterne for graf 2.
c) Afgør, hvad man kan sige om koefficienterne for graf 3.
d) Afgør, hvad man kan sige om koefficienterne for graf 4.
Løsning 3.8.5
a) Niveaukurverne er ellipser, men ikke cirkler, så \(a\) og \(c\) har samme fortegn, men er forskellige. Funktionen har et frit minimum, så \(a>0\) og
\(c>0\).
b) Niveaukurverne er parabler, så \(c=0\). Da et højt niveau, svarer til en lav placering (langs y-aksen) af parablen må \(d<0\). Da der er tale om
konvekse niveaukurver har \(a\) og \(d\) forskelligt fortegn, hvilket betyder at \(a>0\)
c) Niveaukurverne er parabler, så \(c=0\). Da et højt niveau, svarer til en lav placering (langs y-aksen) af parablen må \(d<0\). Da der er tale om
konkave niveaukurver har \(a\) og \(d\) samme fortegn, hvilket betyder at \(a<0\)
d) Niveaukurverne er cirkler, så \(a\) og \(c\) er ens. Funktionen har et frit maksimum, så \(a<0\) og \(c<0\).
