MATHHX A
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
1.4 Integration ved substitution
Som tidligere skrevet kan det være svært at bestemme stamfunktioner og dermed også at regne integraler. Vi skal nu se på en teknik, der kaldes integration ved substitution, som kan bruges når integralerne (bestemte eller
ubestemte) har en særlig form.
Substitutionsmetoden for ubestemte integraler
Vi kan bruge integration ved substitution når integralet kan skrives på følgende form
\[\int f(g(x)) g'(x)\, dx\]
Vi bemærker, at vi skal have en sammensat funktion med den indre funktions differentialkvotient ganget på. Hvis man har svært ved at se, om integralet har den helt rigtige form, kan man starte med at lede efter noget, der ligner
en indre funktion. Er der sådan en, så kan man prøve om man kan komme igennem med metoden. Inden vi er klar til at demonstrere teknikken er vi først nødt til at indføre noget notation (dvs. en skrivemåde) for
differentialkvotienter. Hvis vi har en funktion \(f(x)\), vil vi kalde differentialkvotienten \(\frac {df}{dx}\) i stedet for \(f'(x)\). De funktioner vi vil differentiere hedder \(t(x)\), så vi vil skrive differentialkvotienten
som \(\frac {dt}{dx}\). Den notation har i sig selv ikke noget med substitutionsmetoden at gøre, og vi vil da også møde den senere i andre sammenhænge.
-
Eksempel 1.4.1
Vi vil regne det ubestemte integral
\[\int (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx.\]
Vi ser at integralet ser svært ud med de teknikker vi har lært indtil videre, og det er et tegn på at vi nok skal bruge substitution.
Vi kan se at \(x^2-1\) ligner en indre funktion og derfor sætter vi
\[t=\textcolor {red}{x^2-1}.\]
Vi regner nu differentialkvotienten
\[\frac {dt}{dx}=2x,\]
og ganger med \(dx\) på begge sider
\[dt=\textcolor {blue}{2x\,dx}\]
Vi genkender nu værdierne for \(t\) og \(dt\) i det oprindelige integral:
\[\int (\textcolor {red}{x^2-1})^7 \cdot \textcolor {blue}{2x\, dx}\]
så vi kan altså skrive integralet som
\[\int t^7\, dt.\]
Det er et nemt integral. Det giver
\[\frac {1}{8}t^8+c\]
og da \(t=x^2-1\) får vi:
\[\frac {1}{8}(x^2-1)^8+c.\]
Altså er:
\[\int (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx = \frac {1}{8}(x^2-1)^8+c.\]
Vi siger at vi har regnet integralet med substitutionen \(t=x^2-1\).
Øvelse 1.4.1
Regn integralerne
-
a) \(\int (x^3-1)^2 \cdot 3x^2\, dx\)
-
b) \(\int e^{2x+1}\cdot 2\, dx\)
-
c) \(\int 4x \cdot \sqrt {2x^2+1} \, dx\)
-
d) \(\int \frac {1}{2\sqrt {x}} \cdot e^{\sqrt {x}} \, dx \)
Løsning 1.4.1
-
a) \(\int (x^3-1)^2 \cdot 3x^2\, dx = \frac {1}{3}(x^3-1)^3 + c\)
-
b) \(\int e^{2x+1}\cdot 2\, dx = e^{2x+1} + c\)
-
c) \(\int 4x \cdot \sqrt {2x^2+1} \, dx = \frac {2}{3}(2x^2+1)^{\frac {3}{2}} + c\)
-
d) \(\int \frac {1}{2\sqrt {x}} \cdot e^{\sqrt {x}} \, dx = e^{\sqrt {x}} + c\)
Det er ikke altid man lige kan gennemskue hvad man skal substituere, så nogle gange må man bare gøre forsøget. Hvis man ikke kan få det til at gå op, er det fordi man har valgt forkert eller fordi substitutionsmetoden slet ikke kan
bruges.
-
Eksempel 1.4.2
Vi vil regne det ubestemte integral
\[\int \sqrt {x^4+7}\cdot x^3\, dx.\]
Vi sætter
\[t=\textcolor {red}{x^4+7}\]
og får:
\[\frac {dt}{dx}=4x^3.\]
Vi ”ganger” med \(dx\) og får
\[dt=4x^3\,dx.\]
Vi sammenligner nu værdierne for \(t\) og \(dt\) med vores integral og opdager at de ikke passer helt. Vi har et \(4\)-tal for meget i vores udtryk for \(dt\), så vi dividerer med \(4\) på begge sider:
\[\frac {1}{4}\,dt=\textcolor {blue}{x^3\,dx}.\]
Nu kan vi genkende udtrykkene for \(t\) og \(\textstyle \frac {1}{4}\,dt\) i integralet :
\[\int {\sqrt {\textcolor {red}{x^4+7}}}\cdot \textcolor {blue}{x^3\, dx},\]
så vi kan skrive det som
\[\int \sqrt {t}\cdot \frac {1}{4}\, dt.\]
Vi rykker \(\textstyle \frac {1}{4}\) ud foran integralet og integrerer
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\frac {1}{4}\int \sqrt {t}\cdot \, dt & = \frac {1}{4} \frac {2}{3}t^{\frac {3}{2}}+c \\ & = \frac {1}{6}t^{\frac {3}{2}}+c,
\end{align*}
og husker at \(t=x^4+7\):
\[\frac {1}{6}(x^4+7)^{\frac {3}{2}}+c.\]
Altså:
\[\int \sqrt {x^4+7}\cdot x^3\, dx = \frac {1}{6}(x^4+7)^{\frac {3}{2}}+c.\]
Øvelse 1.4.2
Regn følgende integraler
-
a) \(\int \sqrt {x^2+1}\cdot x\, dx\)
-
b) \(\int 2^{3x+1} \, dx \)
-
c) \(\int \frac {12x}{3x^2+1} \, dx\)
Løsning 1.4.2
-
a) \(\int \sqrt {x^2+1}\cdot x\, dx = \frac {1}{3}(x^2+1)^{\frac {3}{2}}+c\)
-
b) \(\int 2^{3x+1} \, dx = \frac {2^{3x+1}}{3\ln (2)} + c\)
-
c) \(\int \frac {12x}{3x^2+1} \, dx = 2\ln (|3x^2+1|) + c\)
Substitutionsmetoden for bestemte integraler
Substitutionsmetoden kan også bruges for bestemte integraler med kun en lille ændring.
-
Eksempel 1.4.3
Vi vil regne det bestemte integral
\[\int _1^2 (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx.\]
Det var det samme integral vi mødte i eksempel 1.4.1 denne gang bare med grænser (dvs. som bestemt integral). Vi starter på samme måde som ved
ubstemte integraler. Vi sætter
\[t=x^2-1,\]
og får på sædvanlig vis
\[dt=2x\, dx\]
MEN nu kommer det nye. Grænserne. De skal ændres til grænser for \(t\) i stedet for grænser for \(x\). Vi indsætter integralets grænser i udtrykket for \(t\):
\[\text {Nedre grænse: } t=1^2-1=0 \qquad \textrm {Øvre grænse: }t=2^2-1=3.\]
Nu indsætter vi vores værdier i integralet helt som ved ubestemte integraler bortset fra at vi indsætter grænserne for \(t\) som vi lige har regnet:
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\int _{0}^{3} t^7\, dt & = \left [\frac {1}{8}t^8\right ]_{0}^{3} \\ & = \frac {1}{8}\left [t^8\right ]_{0}^{3}\\ & = \frac {1}{8}(3^8-0^8) \\ & = 820{,}125.
\end{align*}
Altså er
\[\int _1^2 (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx=820{,}125.\]
Øvelse 1.4.3
Regn følgende integraler
-
a) \(\int _{-2}^2 (x^2-1)^7 \cdot 2x \, dx\)
-
b) \(\int _{-1}^3 e^{-2x+3} \, dx\)
-
c) \(\int _2^8 \frac {2\sqrt {\ln (x)}}{x} \, dx\)
Løsning 1.4.3
-
a) \(\int _{-2}^2 (x^2-1)^7 \cdot 2x \, dx = 0\)
-
b) \(\int _{-1}^3 e^{-2x+3} \, dx = 74{,}18\)
-
c) \(\int _2^8 \frac {2\sqrt {\ln (x)}}{x} \, dx = 3{,}23\)
Ekstra
Det vi har set indtil videre virker. Man får det rigtige facit. Men man kan undre sig over metoden. Hvorfor må man gange med \(dx\)? Jeg skrev at \(\frac {dt}{dx}\) betød \(t'(x)\). Så \(\frac {dt}{dx}\) er
ikke en brøk, men et samlet betegnelse for differentialkvotienten. Alså har \(dx\) ikke nogen betydning i sig selv, og derfor burde man ikke kunne gange med det. Det er en lidt længere historie at skulle forklare, hvorfor
man (i denne sammenhæng) kan tillade sig at opfatte differentialkvotienten som en brøk, så jeg vil i stedet vise en metode, hvor vi ikke er afhængig af den slags hokus pokus. Metoden tager udgangspunkt i følgende to sætninger.
-
Sætning 1.4.1
Lad \(f\) være en kontinuert funktion og \(g\) en differentiabel funktion. Så gælder:
\[\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt,\]
hvor \(t=g(x)\).
-
Sætning 1.4.2
Lad \(f\) være en kontinuert funktion, \(g\) en differentiabel funktion og lad \(a\) og \(b\) være to reelle tal. Så
gælder:
\[\int _a^b f(g(x))g'(x)\, dx = \int _{g(a)}^{g(b)} f(t)\, dt, \]
hvor \(t=g(x)\).
I sætningerne er det underforstået, at vi substituerer tilbage til \(x\) efter vi har integreret.
-
Eksempel 1.4.4
Vi vil regne det ubestemte integral fra eksempel 1.4.1:
\[\int (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx.\]
Vi ser at det har form som
\[\int f(g(x))g'(x)\, dx\]
med \(g(x)=x^2-1\) og \(f(t)=t^7\), hvor \(t=g(x)\). Vi bruger sætning 1.4.1:
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\int (x^2-1)^7 2x\, dx & = \int t^7\, dt \\ & = \frac {1}{8}t^8 + c \\ & = \frac {1}{8}(x^2-1)^8+c
\end{align*}
\[\]
-
Eksempel 1.4.5
Vi vil regne det bestemte integral fra eksempel 1.4.3
\[\int _1^2 (x^2-1)^7 \cdot 2x\, dx.\]
Som før ser vi at det har form som \(\int _a^b f(g(x))g'(x)\, dx\) med \(g(x)=x^2-1\) og \(f(t)=t^7\), hvor \(t=g(x)\)). Vi bruger sætning 1.4.2
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\int _1^2 (x^2-1)^7 2x\, dx & =\int _{g(1)}^{g(2)} t^7\, dt \\ & = \int _{1^2-1}^{2^2-1} t^7\, dt\\ & = \int _{0}^{3} t^7\, dt \\ & = \left [ \frac {1}{8}t^8\right ]_0^3 \\
& = \frac {1}{8}\left [ t^8\right ]_0^3 \\ & = \frac {1}{8}(3^8-0^8) \\ & = 820{,}125. \\
\end{align*}