I sidste afsnit så vi, hvordan man undersøger om en funktion er løsning til en givet differentialligning. I dette afsnit skal vi se på, hvordan man løser en differentialling. Altså hvordan man selv finder løsningen.
Fuldstændige og partikulære løsninger
Betragt differentialligningen
\[y'=2x.\]
Ligningen udtrykker, at \(y\) er en stamfunktion til \(2x\), så derfor kan vi hurtigt se, at \(f(x)=x^2\) er en løsning til ligningen. Men hvad med funktionen \(g(x)=x^2+7\)? Den opfylder også ligningen og derfor er den også en
løsning. Fra integralregning ved vi at samtlige løsninger til ligningen har formen \(y=x^2+c\), hvor \(c\) er en arbitrær konstant. Vi kalder løsningerne \(f(x)=x^2\) og \(g(x)=x^2+7\) for partikulærer løsninger og
løsningen \(y=x^2+c\) for den fuldstændige løsning. Så de partikulære løsninger er konkrete løsninger, mens at den fuldstændige løsning er en generel løsning, som viser hvilken form de partikulære løsninger har.
Øvelse 2.2.1
Betragt differentialligningen \(y'=3\)
a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.
b) Bestem to forskellige partikulære løsninger til differentialligningen
Løsning 2.2.1
a) \(y=3x+c\)
b) F.eks. \(f(x)=3x\) og \(g(x)=3x+1\)
Fuldstændig løsning ved tabelopslag
Betragt ligningen
\[y'=y+1\]
Skal vi løse den, skal vi finde en funktion, som giver sig selv plus en, når man differentierer den. Hvad kunne det mon være? Selvom ligningen er meget simpel er det svært at se, hvad løsningen er. Heldigvis skal vi kun lære at løse
differentialligninger på nogle helt bestemte former. For hver form kan vi så finde den fuldstændige løsning i en tabel:
\(\begin {array}{|c|c|c|} \hline \rowcolor {lightgray} \text {Ligning} & \text {Løsning}& \\ \hline y'=h(x) & y=\int h(x)\, dx& \\ \hline y'=h(x)\cdot g(y) & \int
\frac {1}{g(y)}\, dy = \int h(x)\, dx & \text {Separation af de variable}\\ \hline y'=k\cdot y & y=c\cdot e^{k\cdot x} & \text {Eksponentiel vækst}\\ \hline y'=b - a
\cdot y & y = \frac {b}{a} + c\cdot e^{-a\cdot x} & \\ \hline y' = a\cdot y (M-y) & y= \frac {M}{1+c\cdot e^{-a\cdot M \cdot x}} & \text {Logistisk vækst} \\ \hline \end
{array}\)
Tabel 2.1: Løsningsformler for differentialligninger
Tabellen findes også i formelsamlingen, men uden den sidste række. Vi kan se, at nogle af ligningerne har et specielt navn, og disse vil vi vende tilbage til senere.
Eksempel 2.2.1 Vi vil bestemme den fuldstændige løsning til ligningen \(y'=3y\). Ligningen har formen \(y'=k\cdot y\) og ifølge tabellen er den fuldstændige løsning givet ved:
\[y=c\cdot e^{k\cdot x}\]
I vores tilfælde er \(k=3\), så vi får løsningen
\[y=c\cdot e^{3x}\]
Øvelse 2.2.2
Bestem ved hjælp af tabellen den fuldstændige løsning til differentialligningerne:
a) \(y'=5y\)
b) \(y'=2-3\cdot y\)
c) \(y'=4y(100-y)\)
d) \(y'=\ln (x)+1\)
Løsning 2.2.2
a) \(y=c\cdot e^{5x}\)
b) \(y=\frac {2}{3}+c\cdot e^{-3\cdot x}\)
c) \(y= \frac {100}{1+c\cdot e^{-400 x}}\)
d) \(y=x\ln (x)+c\)
Nogle gange skal man omskrive ligningen lidt for at kunne genkende den i tabellen.
Eksempel 2.2.2 Vi vil finde den fuldstændige løsning til ligningen \(y'=4+5y\). Vi kan skrive ligningen som \(y'=4-(-5)y\), så den har form som \(y'=b-a\cdot y\) med \(b=4\) og
\(a=-5\). Ifølge tabellen er den fuldstændige løsning givet ved
\[y=\frac {b}{a}+c\cdot e^{-a\cdot x}\]
Vi indsætter \(b=4\) og \(a=-5\):
\[y=\frac {4}{-5}+c\cdot e^{-(-5)x}\]
og reducerer
\[y=-\frac {4}{5}+c\cdot e^{5x}\]
Øvelse 2.2.3
Bestem den fuldstændige løsning til ligningerne:
a) \(y'=3+2y\)
b) \(2y'=y\)
c) \(y'+x=0\)
Løsning 2.2.3
a) \(y=-\frac {3}{2}+c\cdot e^{2x}\)
b) \(y=c\cdot e^{\frac {1}{2}x}\)
c) \(y=-\frac {1}{2}x^2+c\)
Partikulær løsning ved tabelopslag
Partikulære løsninger opstår når der kommer krav til løsningen – som regel i form af et punkt løsningen skal gå igennem.
Eksempel 2.2.3 Betragt differentialligningen
\[y'=3x^2.\]
Vi vil bestemme den løsning \(f\), som opfylder at \(f(1)=5\).
Vi finder først den fuldstændige løsning ved finde ligningen i tabellen. Ligningen har form som \(y'=h(x)\), med \(h(x)=3x^2\), og ifølge tabellen er den fuldstændige løsning givet ved:
\[y=\int h(x)\, dx\]
Vi indsætter forskriften for \(h(x)\) og integrerer
\[y=\int 3x^2\, dx=x^3+c,\]
og den fuldstændige løsning er altså:
\[y=x^3+c.\]
Vi vil nu finde den partikulære løsning, som opfylder at \(f(1)=5\). Altså når \(x=1\) skal \(y=5\). Det kan vi indsætte i den fuldstændige løsning:
\[5=1^3+c\]
Vi isolerer \(c\) og får \(c=4\). Så vores endelige løsning er
\[f(x)=x^3+4\]
Kravet \(f(1)=5\) kan også formuleres som at ”f går igennem punktet \((1,5)\)”.
Øvelse 2.2.4
Betragt differentialligningen \(y'=2x-1\).
a) Bestem den partikulære løsning til som går igennem punktet \((3,4)\).
Løsning 2.2.4
a) \(f(x)=x^2-x-2\)
Eksempel 2.2.4 Betragt differentialligningen
\[y'=6+3y.\]
Vi vil nu finde den løsning \(f\) som går igennem punktet \((0,1)\).
Vi starter igen med at finde den fuldstændige løsning i tabellen. Vores ligning har form som \(y'=b-a\cdot y\), hvor \(a=-3\) og \(b=6\). Ifølge tabellen er den fuldstændige løsning givet ved:
\[y=\frac {b}{a} + c\cdot e^{-a\cdot x}.\]
Vi indsætter værdierne for \(a\) og \(b\):
\[y=\frac {6}{-3} + c\cdot e^{-(-3)\cdot x},\]
og reducerer for så at få den fuldstændige løsning:
\[y=c\cdot e^{3x}-2.\]
Vi indsætter punktet \((0,1)\):
\[1= c\cdot e^{3\cdot 0}-2,\]
og reducerer:
\[1=c-2.\]
Vi isolerer \(c\) og får
\[c=3,\]
og vores endelige løsning er dermed:
\[f(x)=3\cdot e^{3x}-2\]
Metoden i det ovenstående eksempel bruges når ligningerne har form som de 3 nederste rækker i tabellen. Det eneste som ændrer sig er at man får forskellig type af ligninger når man skal isolere \(c\). Separation af de variable skal
vi se nærmere på i det næste afsnit.
Øvelse 2.2.5
Bestem
a) den partikulære løsning til ligningen \(y'=7y\), som opfylder \(f(0)=3\).
b) den partikulære løsning til ligningen \(y'=2y(400-y)\), som går igennem punktet \((0,100)\).
Løsning 2.2.5
a) \(f(x)=3e^{7x}\)
b) \(f(x)=\frac {400}{3e^{-800x}+1}\)
Øvelse 2.2.6 (Svær)
Bestem den partikulære løsning til ligningen…
a) \(\frac {dy}{dx}=3y\), som opfylder \(f(0)=10\).
b) \(y'-9=y\), som går igennem punktet \((0,2)\).
c) \(y'=(4x+8)^{10}\), som opfylder \(f(-2)=0\).
d) \(y'=-2y^2+20y\), som går igennem punktet \((0,6)\)