MATHHX A

MATHHX A

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

7.3 Skalarprodukt og vinkel mellem vektorer

Man kan regne med vektorer som om det var tal – lige bortset fra at man ikke kan gange eller dividere to vektorer. I dette afsnit skal vi se på en operation mellem vektorer som minder lidt om at gange, men så alligevel ikke.

  • Definition 7.3.1
    Hvis

    \[\vec {a}=\begin {pmatrix}a_1\\ a_2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}b_1\\ b_2\end {pmatrix}\]

    Så er skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) givet ved

    \[\vec {a}\cdot \vec {b}=a_1 b_1+a_2 b_2\]

Skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) læses ”vektor a prik vektor b”. Så ikke noget med gange. Prik. Man har det med at komme til at sige gange. Så prik. Ikke gange. Prik. Vi bemærker at skalarproduktet er et tal – ikke en vektor. Skalarproduktet kaldes også prikproduktet.

Øvelse 7.3.1

Lad

\[\vec {a}=\begin {pmatrix}2\\ 1\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}1\\ -1\end {pmatrix}\]

  • a) Regn skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\)

Løsning 7.3.1

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}=1\)

Øvelse 7.3.2

Lad

\[\vec {a}=\begin {pmatrix}a_1\\ 2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}2\\ 4\end {pmatrix}\]

  • a) Bestem \(a_1\) så \(\vec {a}\cdot \vec {b}=0\)

Løsning 7.3.2

  • a) \(a_1=-4\)

Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet.

  • Sætning 7.3.1
    Lad \(\vec {a}\), \(\vec {b}\) og \(\vec {c}\) være tre vektorer og lad \(t\in \mathbb {R}\). Så gælder:

    • 1. \(\vec {a}\cdot \vec {b}=\vec {b}\cdot \vec {a}\)

    • 2. \((t\vec {a})\cdot \vec {b}=t(\vec {a}\cdot \vec {b})\)

    • 3. \(\vec {a}\cdot (\vec {b}+\vec {c})=\vec {a}\cdot \vec {b} + \vec {a}\cdot \vec {c}\)

    • 4. \(\vec {a}\cdot \vec {a}=|\vec {a}|^2\)

Øvelse 7.3.3

Reducer:

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}-\vec {b}\cdot \vec {a}\)

  • b) \((2\vec {a})\cdot \vec {b}+ (\vec {b}\cdot \vec {a})\)

  • c) \(\vec {a} \cdot (\vec {a}+\vec {b})-|\vec {a}|^2\)

Løsning 7.3.3

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}-\vec {b}\cdot \vec {a}=0\)

  • b) \((2\vec {a})\cdot \vec {b}+ (\vec {b}\cdot \vec {a})=3 (\vec {a}\cdot \vec {b})\)

  • c) \(\vec {a} \cdot (\vec {a}+\vec {b})-|\vec {a}|^2=\vec {a}\cdot \vec {b}\)

Øvelse 7.3.4 (Svær)

For to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) gælder:

\[|\vec {a}-\vec {b}|^2=|\vec {a}|^2 + |\vec {b}|^2 - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}\]

  • a) Bevis påstanden (brug regnereglerne, som du brugte i sidste øvelse også).

Løsning 7.3.4

  • a)

    \begin{align*} |\vec {a}-\vec {b}|^2 & = (\vec {a}-\vec {b})\cdot (\vec {a}-\vec {b}) \\ & = \vec {a}\cdot \vec {a} - \vec {a}\cdot \vec {b} - \vec {b}\cdot \vec {a} + \vec {b}\cdot \vec {b}\\ & = \vec {a}\cdot \vec {a} + \vec {b}\cdot \vec {b} - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b}\\ & = |\vec {a}|^2 + |\vec {b}|^2 - 2 \cdot \vec {a}\cdot \vec {b} \end{align*}

Så, skalarproduktet mellem to vektorer er altså et tal. Men hvad fortæller det tal så om de to vektorer? Fortolkningen af skalarproduktet har noget at gøre med vinklen mellem de to vektorer.

Vinklen mellem to vektorer

Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\):

(-tikz- diagram)

Så er vinklen mellem dem den vinkel man får, når man sætter de to vektorer så de har samme begyndelsespunkt som her:

(-tikz- diagram)

Vinklen mellem to vektorer er den vinkel som ligger mellem \(0\degree \) og \(180\degree \). Så det er ikke ligesom i enhedscirklen hvor man kan gå i begge retninger og snurre flere gange rundt. Når \(v=0\) har vektorerne samme retning og vi siger at de er ensrettede. Hvis \(v=90\degree \) står vektorerne vinkelret på hinanden og vi siger at de er ortogonale. Hvis \(v=180\degree \), så peger vektorerne i modsat regning og vi siger at de er modsat rettede (surprise). Hvis vektorerne er enten ensrettede eller modsat rettede siges de også at være parallelle

Øvelse 7.3.5

Tegn to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som er:

  • a) ensrettede

  • b) ortogonale

  • c) modsat rettede

  • d) parallelle, men ikke ensrettede.

Løsning 7.3.5

F.eks.

  • a)
    (-tikz- diagram)

  • b)
    (-tikz- diagram)

  • c)
    (-tikz- diagram)

  • d)
    (-tikz- diagram)

Følgende sætning kan gøre os klogere på, hvad skalarproduktet viser.

  • Sætning 7.3.2
    Lad \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) være to egentlige vektorer og lad \(v\) være vinklen mellem de to vektorer. Så er

    \[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}||\vec {b}|\cos (v)\]

Vi graver en enhedscirkel frem så vi kan huske hvordan det er med cosinus:

(-tikz- diagram)

Lad os se på nogle konkrete situationer. Vi starter med den situation hvor \(v=0\). Det er den når vektorerne er ensrettede. Ud fra enhedscirklen ser vi at \(\cos (0\degree )=1\). Så

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}||\vec {b}|\cos (v)=|\vec {a}||\vec {b}|\cdot 1=|\vec {a}||\vec {b}|\]

Så når vi har ensrettede vektorer, så er skalarproduktet altså bare de to vektorers længder ganget sammen. Hvis vi nu lader \(v\) vokse, kan vi se på enhedscirklen at \(\cos (v)\) bliver mindre. Dvs. skalarproduktet må blive mindre. Når vi kommer på på \(v=90\degree \) er \(\cos (v)=0\) og derfor bliver

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}||\vec {b}|\cos (v)=|\vec {a}||\vec {b}|\cdot 0=0\]

Så ortogonale vektorer har et skalarprodukt på \(0\). Lader vi vinklen komme over \(90\degree \) kommer \(\cos (v)\) under \(0\) og skalarproduktet begynder dermed at blive negativt og jo større \(v\) bliver jo mindre bliver skalarproduktet. Når vinklen når helt op på \(180\degree \) er vektorerne modsat rettede og skalarproduktet bliver:

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}||\vec {b}|\cos (v)=|\vec {a}||\vec {b}|\cdot (-1)=-|\vec {a}||\vec {b}|\]

Så skalarproduktet er altså produktet af længderne ganget med en faktor som udtrykker i hvilken grad de to vektorer peger i samme regning. Denne faktor er \(1\) når de har samme retning, \(-1\) når de er modsat rettede og ellers et sted imellem.

Øvelse 7.3.6

Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som opfylder at \(|\vec {a}|=2\), \(|\vec {b}|=3\) og vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) er \(60\degree \).

  • a) Bestem \(\vec {a}\cdot \vec {b}\).

Løsning 7.3.6

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b}=3\)

Øvelse 7.3.7

Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) som opfylder at \(|\vec {a}|=5\), \(|\vec {b}|=1\) og \(\vec {a}\cdot \vec {b}=1\).

  • a) Bestem vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\).

Løsning 7.3.7

  • a) Vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) er \(78{,}46\degree \)

Øvelse 7.3.8

Betragt vektorerne:

\[\vec {a}=\begin {pmatrix}2\\ 3\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}3\\ -4\end {pmatrix}\]

  • a) Bestem vinklen mellem vektorerne

VINK: Start med regn længderne og skalarproduktet inden du tænker på vinklen.

Løsning 7.3.8

  • a) Vinklen mellem \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\) er \(109{,}44\degree \)

Ekstra

I dette afsnit vil vi se på hvordan vi kan blive endnu mere præcise i vores forklaring af betydningen af skalarproduktet.

Antag at vi har to vektorer \(\vec {a}\) og \(\vec {b}\), hvor vinklen mellem dem er under \(90\degree \):

(-tikz- diagram)

Vi indtegner nu en vektor \(\vec {b}_{\vec {a}}\) kaldet vektor b’s projektion på vektor a ved at gå fra \(\vec {b}\)’s slutpunkt til vinkelret ned på \(\vec {a}\) som vist her:

(-tikz- diagram)

Vi vil nu vise at skalarproduktet er givet ved

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\]

På tegningen kan vi se en trekant med siderne \(\vec {b}\), \(\vec {b}_{\vec {a}}\) og den stiplede linje. Vi husker fra folkeskolen at

\[\cos (v)=\frac {|\vec {b}_{\vec {a}}|}{|\vec {b}|}\]

Ganger vi med \(|\vec {b}|\) på begge sider får vi:

\[|\vec {b}_{\vec {a}}|=|\vec {b}| \cos (v)\]

Vi bruger nu sætning sætning 7.3.2 og får

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}| \cos (v)=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\]

Altså

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\]

Så hvis \(v<90\degree \) er skalarproduktet altså længden af den første vektor ganget med længden af den andens vektors projektion på den første. Når \(v>90\degree \) ser projektionen således ud:

(-tikz- diagram)

Ved at tilpasse ovenstående argumenter kan man vise at der i dette tilfælde gælder:

\[\vec {a}\cdot \vec {b}=-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|.\]

Så her er skalarproduktet altså minus længden af den første vektor gange længden af den andens vektors projektion på den først.

Øvelse 7.3.9 (Svær)

  • a) Vis at hvis \(v>90\degree \), så er

    \[\vec {a}\cdot \vec {b}=-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|.\]

VINK: Du får brug for formlen \(\cos (180\degree -v)=-\cos (v)\) (hvorfor er den rigtigt?)

Løsning 7.3.9

  • a) Du viser mig løsningen

Øvelse 7.3.10

Tegn vektorerne

\[\vec {a}=\begin {pmatrix}0\\ 10\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}3\\ 4\end {pmatrix}\]

  • a) Regn skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) ud fra formlen \(\vec {a}\cdot \vec {b}=|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\) og din tegning ,

Løsning 7.3.10

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b} = |\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|=10\cdot 4=40\).

Øvelse 7.3.11

Tegn vektorerne

\[\vec {a}=\begin {pmatrix}5\\ 2\end {pmatrix}\quad \text {og}\quad \vec {b}=\begin {pmatrix}-4\\ 3\end {pmatrix}\]

  • a) Kom med et ca. bud på skalarproduktet \(\vec {a}\cdot \vec {b}\) ved hjælp af aflæsning på din tegning og formlen \(\vec {a}\cdot \vec {b}=-|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\).

Løsning 7.3.11

  • a) \(\vec {a}\cdot \vec {b} = -|\vec {a}| |\vec {b}_{\vec {a}}|\approx -2{,}6 \cdot 5{,}4\approx -14\).